Bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao


Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và AB'C' có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB' và CC'.

Chứng minh rằng

LG a

\(AI \bot C{C'}\,,\,AJ \bot B{B'}\,\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh các đường thẳng vuông góc, ta thực hiện nhân vô hướng các véc tơ và kiểm tra tích đó bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Vì I là trung điểm BB' và J là trung điểm CC' nên:

\(\overrightarrow {AI}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A{B'}} )\)

\(\overrightarrow {AJ}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{C'}} )\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C'}} \cr&= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B'}} ).\,(\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AC} ) \cr 
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} ) \cr} \)

Vì \(AB \bot AC\,,\,\,A{B'} \bot A{C'}\,\) nên \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {A{C'}}  = 0\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {CC'}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} } \right)\)

Mặt khác

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C'}} = AB.\,A{C'}.\cos \widehat {BA{C'}} \cr 
& \overrightarrow {A{B'}} .\,\overrightarrow {AC} = A{B'}.\,AC.\cos \widehat {{B'}AC} \cr} \)

Do ABC, AB’C’ vuông cân tại A nên AC’=AC,AB’=AB

Lại có:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAC'} = \widehat {BAB'} + \widehat {B'AC'} = \widehat {BAB'} + {90^0}\\\widehat {B'AC} = \widehat {B'AB} + \widehat {BAC} = \widehat {B'AB} + {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {BAC'} = \widehat {B'AC}\\ \Rightarrow \cos \widehat {BAC'} = \cos \widehat {B'AC}\end{array}\)

Do đó,

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {CC'}  = 0 \Leftrightarrow AI \bot CC'\)

Tương tự \(\overrightarrow {AJ} .\,\overrightarrow {B{B'}} \)

\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{C'}} ).\,(\overrightarrow {A{B'}}  - \overrightarrow {AB} )\)

\(\eqalign{
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AB} )\cr 
& = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB'}  - \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AB} } \right) = 0\cr&\Rightarrow \,\,AJ \bot B{B'} \cr} \)

LG b

\(B{C'}\,\, \bot {B'}C\,\,\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} \cr&= (\overrightarrow {A{C'}} - \overrightarrow {AB} ).\,(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{B'}} ) \cr 
& = \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{C'}} .\,\overrightarrow {A{B'}} - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}} \cr} \)

\( = \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'} \)

(vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC'}  = 0\))

\(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}}  = AB.A{B'}.\cos \widehat {BA{B'}}\)

\(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{C'}}\)\(  = AC.A{C'}.\cos ({180^0} - \widehat {BA{B'}}) \)

\(=  - \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B'}}.\)

Do đó: \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'}  \)\(=  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB'}  = 0\)

Suy ra \(\overrightarrow {B{C'}} .\,\overrightarrow {{B'}C} =\overrightarrow 0\)

Vậy \(B{C'} \bot {B'}C\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài