Bài 12 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao


Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau.

LG a

Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{D^2}\) không đổi.

Lời giải chi tiết:

Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.

Theo định lí quan hệ giữa đường kính và dây ta có:

OI AB; OJ CD;

Do đó tứ giác OIPJ là hình chữ nhật.

Ta có:

AB2 + CD2 = (2AI)2 + (2DJ)2

= 4 AI2 + 4DJ2 = 4. (AO2 – OI2 ) + 4(DO2 – OJ2 )

=4. (R2 – OI2 ) + 4(R2 – OJ2 )

= 4( 2R2 – OI2 – OJ2 )

= 4.[2R2 – (OI2 + OJ2) ]

= 4. ( 2R2 – OP2) ( vì OI2 + OJ2 = OI2 + IP2 = OP2 )

= 8R2 – 4. OP2

(không đổi vì R không đổi, O và P cố định nên OP không đổi)

LG b

Chứng minh rằng \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

Lời giải chi tiết:

Phương tích của điểm P với đường tròn:

\(\begin{array}{l}{P_{P/\left( O \right)}} = \overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB}  = O{P^2} - {R^2}\\{P_{P/\left( O \right)}} = \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD}  = O{P^2} - {R^2}\end{array}\)

Ta có

\(\eqalign{
& P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} \cr&= {(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} )^2} + {(\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD} )^2} \cr&+ 2.\overrightarrow {PA} .\,\overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} .\,\overrightarrow {PD} \cr 
& = {\overrightarrow {BA} ^2} + {\overrightarrow {DC} ^2} + 2\left( {\overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} } \right) \cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2\left( {O{P^2} - {R^2} + O{P^2} - {R^2}} \right)\cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2(2P{O^2} - 2{R^2}) \cr 
& =  8{R^2} - 4O{P^2} + 4P{O^2} - 4{R^2} \cr 
&  = 4{R^2} \cr} \)

 Vậy  \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\)  không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.5 trên 6 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài