Bài 48 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao


Cho hàm số: a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có ba cực trị. b) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số: \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m\)

LG a

Tìm các giá trị của \(m\) sao cho hàm số có ba cực trị.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(y = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
{x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

Nếu \(m> 0\) thì \(y’=0\) \( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x =  - \sqrt m \) hoặc \(x = \sqrt m \)

Hàm số có ba điểm cực trị.
Nếu \(m \le 0\) thì \({x^2} - m \ge 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Hàm số có \(1\) cực tiểu.
Vậy hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi \(m>0\).

Chú ý:

Có thể trình bày ngắn gọn như sau:

Để hàm số đã cho có 3 cực trị thì phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

LG b

Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m = {1 \over 2}\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.

Lời giải chi tiết:

Với \(m = {1 \over 2}\) ta có \(y = {x^4} - {x^2} + 1\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr 
& y' = 4{x^3} - 2x = 2x\left( {2{x^2} - 1} \right)\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = \pm \sqrt {{1 \over 2}}  \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(y\left( 0 \right) = 1\) và \(y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\) và \(\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) và \(\left( {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = 1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \({y_{CT}} =   \frac{3}{4}\)

\(y'' = 12{x^2} - 2\)

\(y'' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm {{\sqrt 6 } \over 6};\,\,y\left( { \pm {{\sqrt 6 } \over 6}} \right) = {{31} \over {36}}\)

Xét dấu y”

Đồ thị có hai điểm uốn: \({I_1}\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)\) và \({I_2}\left( {{{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)\)
Điểm đặc biệt: \(x =  \pm 1 \Rightarrow y = 1\)


Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

Ta có: \(y'\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = 4.{\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)^3} - 2.\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) \) \(= \frac{4}{{3\sqrt 6 }}\)

Do đó phương trình tiếp tuyến tại \({I_1}\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)\) là \(y - {{31} \over {36}} = y'\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)\left( {x + {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow y = {4 \over {3\sqrt 6 }}x + {{13} \over {12}}\)

Lại có \(y'\left( { \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = 4.{\left( {  \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)^3} - 2.\left( {  \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) \) \(= -\frac{4}{{3\sqrt 6 }}\)

Do đó phương trình tiếp tuyến tại \({I_2}\left( {{{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)\) là: \(y - {{31} \over {36}} = y'\left( {  {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)\left( {x - {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)\) \(\Leftrightarrow y =  - {4 \over {3\sqrt 6 }}x + {{13} \over {12}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 6 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài