Bài 40 trang 43 Giải tích 12 Nâng cao


Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác đinh: \(D=\mathbb R\)

Sự biến thiên:

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} + 6x \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\)

- Cực trị:

  Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\;;y_{CĐ}=0\)

  Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\;;y_{CT}=-4\)

- Giới hạn:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = - \infty \cr} \)

\(\eqalign{
& y'' = 6x + 6 \cr 
& y'' = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \cr} \)

Điểm uốn \(I(-1;-2)\)

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận điiểm \(I(-1;-2)\) làm tâm đối xứng.

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

Phương pháp giải:

Công thức viết phương trình tiếp tuyến của ĐTHS tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:

\(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\) hay \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(y'(-1)=3.(-1)^2+6.(-1)=-3\)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại \(I(-1;-2)\) là:

\(y=-3(x+1)+(-2) \) \(\Leftrightarrow y =  - 3x - 5\)

LG c

Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.

Lời giải chi tiết:

Cách 1. Gọi I(-1; -2) là tọa độ điểm uốn.

Theo công thức đổi trục tọa độ theo véc tơ OI ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y - 2\end{array} \right.\)

Phương trình của \(\left( C \right)\) trong hệ tọa độ \(IXY\) là:

\(\begin{array}{l}Y - 2 = {\left( {X - 1} \right)^3} + 3{\left( {X - 1} \right)^2} - 4\\ \Leftrightarrow Y - 2 = {X^3} - 3{X^2} + 3X + 1 + 3{X^2} - 6X + 3 - 4\\ \Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X\end{array}\)

Hàm số \(Y = {X^3} - 3X\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

⇒ điều phải chứng minh

Cách 2:

Lấy điểm \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) bất kì thuộc \(\left( C \right)\).

Điểm \({M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) đối xứng với \({M_1}\) qua \(I\left( { - 1; - 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\\ - 2 = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} =  - 2 - {x_1}\\{y_2} =  - 4 - {y_1}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {M_2}\left( { - 2 - {x_1}; - 4 - {y_1}} \right)\)

Ta kiểm tra \(M_2\) có thuộc đồ thị hàm số đã cho hay không. Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( { - 2 - {x_1}} \right)^3} + 3{\left( { - 2 - {x_1}} \right)^2} - 4\\ =  - 8 - 12{x_1} - 6x_1^2 - x_1^3 + 3\left( {4 + 4{x_1} + x_1^2} \right) - 4\\ =  - 8 - 12{x_1} - 6x_1^2 - x_1^3 + 12 + 12{x_1} + 3x_1^2 - 4\\ =  - 3x_1^2 - x_1^3 = 4 - \left( {x_1^3 + 3x_1^2 - 4} \right)\\ = 4 - {y_1}\end{array}\)

Do đó điểm \({M_2}\left( { - 2 - {x_1}; - 4 - {y_1}} \right)\) cũng thuộc \(\left( C \right)\).

Vậy \(I\left( { - 1; - 2} \right)\) là tâm đối xứng của \(\left( C \right)\).

Cách 3:

Sử dụng lý thuyết: Đồ thị hàm số y=f(x) nhận \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) làm tâm đối xứng

\( \Leftrightarrow \) f(x0+x)+f(x0-x)=2y0 với ∀x

Áp dụng:

Đồ thị nhận I(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:

⇔ f(-1+x)+f(-1-x)=-4 với ∀x

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( { - 1 + x} \right)^3} + 3{\left( { - 1 + x} \right)^2} - 4 \cr&+ {\left( { - 1 - x} \right)^3} + 3{\left( { - 1 - x} \right)^2} - 4 = - 4 \cr 
& \Leftrightarrow - 1 + 3x - 3{x^2} + {x^3} + 3 - 6x + 3{x^2} - 4 \cr&- 1 - 3x - 3{x^2} - {x^3} + 3 + 6x + 3{x^2} - 4 = - 4 \cr 
& \Leftrightarrow - 4 = - 4\,\,\forall x \cr} \)

\(\Leftrightarrow I(-1;-2)\) là tâm đối xứng của đồ thị.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 6 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài