Bài 47 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao


Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2. b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số: \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với \(m = 2\).

Lời giải chi tiết:

Với \(m = 2\) ta có: \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr 
& y' = 4{x^3} - 6x\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = \pm \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.\cr&y\left( 0 \right) = 2;\,y\left( { \pm \sqrt {{3 \over 2}} } \right) = - {1 \over 4} \cr} \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \sqrt {\frac{3}{2}} ;0} \right)\) và \(\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} ; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt {\frac{3}{2}} } \right)\) và \(\left( {0;\sqrt {\frac{3}{2}} } \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = 2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  \pm \sqrt {\frac{3}{2}} \) và \({y_{CT}} =  - \frac{1}{4}\)

\(y'' = 12{x^2} - 6\)

\(y'' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}\)

  

Đồ thị có hai điểm uốn : \({I_1}\left( { - \sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\) và \({I_2}\left( {\sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\)

Điểm đặc biệt 

\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr 
{x^2} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 1 \hfill \cr 
x = \pm \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

LG b

Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của \(m\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) khi và chỉ khi 

\({y_o} = x_o^4 - \left( {m + 1} \right)x_o^2 + m \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {y_o} = x_o^4 - mx_o^2 - x_o^2 + m\\
\Leftrightarrow {y_o} = x_o^4 - x_o^2 + m\left( {1 - x_o^2} \right)
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left( {1 - x_o^2} \right)m + x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Đồ thị đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) với moi giá trị của \(m\) khi và chỉ khi phương trình \((1)\) nghiệm đúng với mọi \(m\), tức là:

\(  \left\{ \begin{array}{l}
1 - x_o^2 = 0\\
x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0
\end{array} \right.\)

\(  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x_o} = 1\\
{x_o} = - 1
\end{array} \right.\\
-{y_o} = 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = 1 \hfill \cr 
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\text{ hoặc }\,\,\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = - 1 \hfill \cr 
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định \((-1;0)\) và \((1;0)\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 6 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài