Bài 43 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y =  - {x^4} + 2{x^2} - 2\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - \infty \cr 
& y' = - 4{x^3} + 4x = - 4x\left( {{x^2} - 1} \right)\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0,\,\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = - 2 \hfill \cr 
x = \pm 1,\,\,\,\,y\left( { \pm 1} \right) = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\);
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = -1 ; x = 1\);
Giá trị cực đại \(y\left( { \pm 1} \right) =  - 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\), giá trị cực tiểu \(y(0) = -2\).

\(\eqalign{
& y'' = - 12{x^2} + 4 = - 4\left( {3{x^2} - 1} \right) \cr 
& y'' = 0 \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 3 }}\cr&y\left( { \pm {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) = {{ - 13} \over 9} \cr} \)

Xét dấu y”

Đồ thị có hai điểm uốn \({I_1}\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\) và \({I_2}\left( {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\)
Điểm đặc biệt \(x = 2 \Rightarrow y =  - 10\)
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

LG b

Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình \( - {x^4} + 2{x^2} - 2 = m\).

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số \(y =  - {x^4} + 2{x^2} - 2\) với đường thẳng \(y = m\).

Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
- Nếu \(m < -2\) thì phương trình có \(2\) nghiệm;
- Nếu \(m = -2\) thì phương trình có \(3\) nghiệm;
- Nếu \(-2 < m < -1\) thì phương trình có \(4\) nghiệm;
- Nếu \(m = -1\) thì phương trình có \(2\) nghiệm;
- Nếu \(m> -1\) thì phương trình vô nghiệm.

Vậy,

m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.

\(m =  - 1\) hoặc \(m <  - 2\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm.

m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.

-2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.

LG c

Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị có hai điểm uốn \({I_1}\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\) và \({I_2}\left( {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\)

Ta có: \(y'\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) =  - 4.{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} + 4.\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \) \(=  - \frac{8}{{3\sqrt 3 }}\)
phương trình tiếp tuyến của đồ thị \({I_1}\) là:

\(\eqalign{
& y + {{13} \over 9} = y'\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)\left( {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr&\Leftrightarrow y + {{13} \over 9} = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}\left( {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr 
& \Leftrightarrow y = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3} \cr} \)

Lại có: \(y'\left( {  \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) =  - 4.{\left( {  \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} + 4.\left( {  \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \) \(=   \frac{8}{{3\sqrt 3 }}\)

Tương tự tiếp tuyến của đồ thị \({I_2}\) là :

\(\eqalign{
& y + {{13} \over 9} = y'\left( {  {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)\left( {x - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr&\Leftrightarrow y + {{13} \over 9} = {{  8} \over {3\sqrt 3 }}\left( {x - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr 
& \Leftrightarrow y = {{  8} \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3} \cr} \)

Vậy 2 tiếp tuyến là \(y = {-8 \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3}\) và \(y = {8 \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 6 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài