# Bài 42 trang 214 SGK Đại số 10 Nâng cao

## Chứng minh rằng:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng:

LG a

$\sin {{11\pi } \over {12}}\cos {{5\pi } \over {12}} = {1 \over 4}(2 - \sqrt 3 )$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\eqalign{ & \sin {{11\pi } \over {12}}\cos {{5\pi } \over {12}} \cr&= \sin (\pi - {\pi \over {12}})cos({\pi \over 2} - {\pi \over {12}}) \cr & = {\sin ^2}{\pi \over {12}} = {1 \over 2}(1 - \cos {\pi \over 6}) \cr&= {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 3 } \over 2})\cr& = {1 \over 4}(2 - \sqrt 3 ) \cr}

Cách khác:

$\begin{array}{l} \sin \frac{{11\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}}\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{11\pi }}{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{11\pi }}{{12}} - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{3} + \sin \frac{\pi }{2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( { - \sin \frac{\pi }{3} + 1} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{4} \end{array}$

LG b

$\cos {\pi \over 7}\cos {{3\pi } \over 7}\cos {{5\pi } \over 7} = - {1 \over 8}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\eqalign{ & \cos {{3\pi } \over 7} = \cos (\pi - {{4\pi } \over 7}) = - \cos {{4\pi } \over 7} \cr & \cos {{5\pi } \over 7} = \cos (\pi - {{2\pi } \over 7}) = - \cos {{2\pi } \over 7} \cr}

Đặt

\eqalign{ & A=\cos {\pi \over 7}\cos {{3\pi } \over 7}\cos {{5\pi } \over 7} \cr& = \cos \frac{\pi }{7}.\left( { - \cos \frac{{4\pi }}{7}} \right).\left( { - \cos \frac{{2\pi }}{7}} \right)\cr&= \cos {\pi \over 7}\cos {{2\pi } \over 7}\cos {{4\pi } \over 7} \cr }

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8A\sin \frac{\pi }{7}\\ = 8\sin \frac{\pi }{7}\cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{4\pi }}{7}\\ = 4.\left( {2\sin \frac{\pi }{7}\cos \frac{\pi }{7}} \right)\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{4\pi }}{7}\\ = 4.\sin \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{4\pi }}{7}\\ = 2.\left( {2\sin \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{2\pi }}{7}} \right)\cos \frac{{4\pi }}{7}\\ = 2.\sin \frac{{4\pi }}{7}\cos \frac{{4\pi }}{7}\\ = \sin \frac{{8\pi }}{7} = \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{7}} \right)\\ = - \sin \frac{\pi }{7}\\ \Rightarrow 8A\sin \frac{\pi }{7} = - \sin \frac{\pi }{7}\\ \Rightarrow 8A = - 1\\ \Leftrightarrow A = - \frac{1}{8}\left( {dpcm} \right) \end{array}$

LG c

$\sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^0}\sin {78^0} = {1 \over {16}}$ (Hướng dẫn: Nhân hai vế với cos 60)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l} \sin {42^0} = \sin \left( {{{90}^0} - {{48}^0}} \right) = \cos {48^0}\\ \sin {66^0} = \sin \left( {{{90}^0} - {{24}^0}} \right) = \cos {24^0}\\ \sin {78^0} = \sin \left( {{{90}^0} - {{12}^0}} \right) = \cos {12^0} \end{array}$

Do đó,

\eqalign{ & A=\sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^0}\sin {78^0} \cr&= \sin {6^0}\cos {48^0}\cos {24^0}\cos {12^0} \cr}

$\begin{array}{l} \Rightarrow A\cos {6^0}\\ = \sin {6^0}\cos {6^0}\cos {12^0}\cos {24^0}\cos {48^0}\\ = \frac{1}{2}.\left( {2\sin {6^0}\cos {6^0}} \right)\cos {12^0}\cos {24^0}\cos {48^0}\\ = \frac{1}{2}\sin {12^0}\cos {12^0}\cos {24^0}\cos {48^0}\\ = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\left( {2\sin {{12}^0}\cos {{12}^0}} \right)\cos {24^0}\cos {48^0}\\ = \frac{1}{4}\sin {24^0}\cos {24^0}\cos {48^0}\\ = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.\left( {2\sin {{24}^0}\cos {{24}^0}} \right)\cos {48^0}\\ = \frac{1}{8}\sin {48^0}\cos {48^0}\\ = \frac{1}{{16}}.2\sin {48^0}\cos {48^0} = \frac{1}{{16}}\sin {96^0}\\ = \frac{1}{{16}}\sin \left( {{{90}^0} + {6^0}} \right)\\ = \frac{1}{{16}}\left( {\sin {{90}^0}\cos {6^0} + \cos {{90}^0}\sin {6^0}} \right)\\ = \frac{1}{{16}}\cos {6^0}\\ \Rightarrow A\cos {6^0} = \frac{1}{{16}}\cos {6^0}\\ \Leftrightarrow A = \frac{1}{{16}} \end{array}$

Loigiaihay.com

Bình chọn:
4.2 trên 13 phiếu

>> Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục