Bài 35 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

LG a

Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 1\) và \(y = 3 – x\).

Phương pháp giải:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),\) \(x = a,x = b\).

+) B1: Tìm nghiệm \(a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\) của phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

+) B2: Tính diện tích theo công thức:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

\( = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \( + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \( + ... + \int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \( + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

\( = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\)\( + \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\) \( + ... + \left| {\int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\) \( + \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^2} + 1 = 3 - x \) \(\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - 2 \hfill \cr} \right.\)

\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx\) \( = \left| {\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^2} + x - 2} \right)dx} } \right|\) \( = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_{ - 2}^1} \right|\) \( = \left| { - \dfrac{7}{6} - \dfrac{{10}}{3}} \right| = \dfrac{9}{2}\)

Cách khác:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^2} + 1 = 3 - x \) \(\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Với mọi \(x \in \left[ { - 2;1} \right]\) thì \({x^2} + x - 2 \le 0\). Khi đó, \(\left| {{x^2} + x - 2} \right| =  - {x^2} - x + 2\)

Diện tích cần tìm là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx\) \( = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( { - {x^2} - x + 2} \right)dx} \) \( = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^1\) \( = \dfrac{7}{6} - \left( { - \dfrac{{10}}{3}} \right) = \dfrac{9}{2}\)

LG b

Các đường có phương trình \(x = {y^3}\), \(y = 1\), và \(x = 8\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(x = {y^3} \Rightarrow y = {x^{\frac{1}{3}}}\)

Diện tích cần tìm là:

\(S = \int\limits_1^8 {({x^{{1 \over 3}}} - 1)dx = \left. {\left( {{3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} - x} \right)} \right|_1^8}  \) \(= {{17} \over 4}\)

Cách khác:

Tung độ giao điểm của đường cong x=y3 và đường thẳng x = 8 là nghiệm của phương trình y3=8 <=> y = 2. Vậy diện tích cần tìm là:

\(S = \int\limits_1^2 {\left| {{y^3} - 8} \right|dy} \)\( = \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{y^3} - 8} \right)dy} } \right|\)  \( = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{y^4}}}{4} - 8y} \right)} \right|_1^2} \right|\) \( = \left| { - 12 - \left( { - \dfrac{{31}}{4}} \right)} \right|\)\( = \left| { - \dfrac{{17}}{4}} \right| = \dfrac{{17}}{4}\)

LG c

Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt x ,y = 6 - x\) và trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

\(\eqalign{
& \sqrt x = 6 - x \Leftrightarrow x + \sqrt x - 6 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4 \cr} \)

\(S = {S_{OAB}} + {S_{ABC}}\) 

\( = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx}  + \dfrac{1}{2}.AB.AC\)\( = \int\limits_0^4 {{x^{\dfrac{1}{2}}}dx}  + \dfrac{1}{2}.2.2 = \left. {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}} \right|_0^4 + 2\)  \( = \dfrac{2}{3}.8 + 2 = \dfrac{{22}}{3}\)

Cách khác:

Ta có: y=√x <=> y2=x (y ≥ 0);y=6-x <=> x = 6 – y

Tung độ giao điểm của hai đường thẳng x=y2;x=6-y là nghiệm của phương trình

\({y^2} = 6 - y\) \( \Leftrightarrow {y^2} + y - 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 3\left( {loai} \right)\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy diện tích cần tìm:

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{y^2} - \left( {6 - y} \right)} \right|dy} \) \( = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{y^2} + y - 6} \right)dy} } \right|\) \( = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{y^3}}}{3} + \dfrac{{{y^2}}}{2} - 6y} \right)} \right|_0^2} \right|\) \( = \left| { - \dfrac{{22}}{3} - 0} \right| = \dfrac{{22}}{3}\)

  Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 6 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài