Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Ôn tập chương III – Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 3 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao


Với điều kiện nào của x và y thì điểm M(x, y) thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O? Chứng minh điểm A nằm trong nửa mặt phẳng đó.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường thẳng \(d:x - y + 2 = 0\) và điểm A(2, 0)

LG a

Với điều kiện nào của x và y thì điểm M(x, y) thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O? Chứng minh điểm A nằm trong nửa mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Điểm M(x;y) và O(0;0) nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi

\((x - y + 2).(0 - 0 + 2) > 0\) \( \Leftrightarrow x - y + 2 > 0\)

Xét A(2;0) và O(0;0) ta có: \(({x_A} - {y_A} + 2)(0 - 0 + 2)\)\( = (2 - 0 + 2).2 = 8 > 0\),

Do đó A và O nằm cùng phía so với d hay A nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là d và chứa O.

LG b

Tìm điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng d.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1} \right)\)

Gọi d’ là đường thẳng qua O và vuông góc với d.

d' qua O(0;0) và nhận \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT nên phương trình tổng quát của d’ là \(d’: x+y=0\).

Gọi H là hình chiếu của O lên d thì tọa độ H là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{
x - y = - 2 \hfill \cr 
x + y = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(H(-1, 1)\)

Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua d thì H là trung điểm của OO’ do đó

\(\left\{ \matrix{
{x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \hfill \cr 
{y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_{O'}} = 2{x_H} - {x_O} = - 2 \hfill \cr 
{y_{O'}} = 2{y_H} - {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(O'(-2, 2)\)

LG c

Tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác OMA nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

OA không đổi nên chu vi tam giác AMO nhỏ nhất  khi tổng MO+MA nhỏ nhất.

Ta có: \(MO = MO'\) \(\Rightarrow MO + MA = MO' + MA \ge AO'\)

\( \Rightarrow \,\,MO + MA\) nhỏ nhất khi A, M, O’ thẳng hàng , khi đó M là giao điểm của d với đường thẳng O’A.

Phương trình O’A :

\(\eqalign{
& {{x - {x_A}} \over {{x_{O'}} - {x_A}}} = {{y - {y_A}} \over {{y_{O'}} - {y_A}}} \cr 
& {{x - 2} \over { - 2 - 2}} = {{y - 0} \over {2 - 0}} \cr &\Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0 \cr} \)

Tọa độ M là nghiệm của hệ: 

\(\left\{ \matrix{
x - y = - 2 \hfill \cr 
x + 2y = 2 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - {2 \over 3} \hfill \cr 
y = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(M\left( { - {2 \over 3}\,;\,{4 \over 3}} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 4 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store