Bài 3 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao

Với điều kiện nào của x và y thì điểm M(x, y) thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O? Chứng minh điểm A nằm trong nửa mặt phẳng đó.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường thẳng \(d:x - y + 2 = 0\) và điểm A(2, 0)

LG a

Với điều kiện nào của x và y thì điểm M(x, y) thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O? Chứng minh điểm A nằm trong nửa mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Điểm M(x;y) và O(0;0) nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi

\((x - y + 2).(0 - 0 + 2) > 0\) \( \Leftrightarrow x - y + 2 > 0\)

Xét A(2;0) và O(0;0) ta có: \(({x_A} - {y_A} + 2)(0 - 0 + 2)\)\( = (2 - 0 + 2).2 = 8 > 0\),

Do đó A và O nằm cùng phía so với d hay A nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là d và chứa O.

LG b

Tìm điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng d.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1} \right)\)

Gọi d’ là đường thẳng qua O và vuông góc với d.

d' qua O(0;0) và nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT nên phương trình tổng quát của d’ là \(d’: x+y=0\).

Gọi H là hình chiếu của O lên d thì tọa độ H là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{
x - y = - 2 \hfill \cr
x + y = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(H(-1, 1)\)

Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua d thì H là trung điểm của OO’ do đó

\(\left\{ \matrix{
{x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \hfill \cr
{y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_{O'}} = 2{x_H} - {x_O} = - 2 \hfill \cr
{y_{O'}} = 2{y_H} - {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(O'(-2, 2)\)

LG c

Tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác OMA nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

OA không đổi nên chu vi tam giác AMO nhỏ nhất khi tổng MO+MA nhỏ nhất.

Ta có: \(MO = MO'\) \(\Rightarrow MO + MA = MO' + MA \ge AO'\)

\( \Rightarrow \,\,MO + MA\) nhỏ nhất khi A, M, O’ thẳng hàng , khi đó M là giao điểm của d với đường thẳng O’A.

Phương trình O’A :

\(\eqalign{
& {{x - {x_A}} \over {{x_{O'}} - {x_A}}} = {{y - {y_A}} \over {{y_{O'}} - {y_A}}} \cr
& {{x - 2} \over { - 2 - 2}} = {{y - 0} \over {2 - 0}} \cr &\Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0 \cr} \)

Tọa độ M là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{
x - y = - 2 \hfill \cr
x + 2y = 2 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - {2 \over 3} \hfill \cr
y = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(M\left( { - {2 \over 3}\,;\,{4 \over 3}} \right)\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 4 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 4 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao
Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng Δ qua I
Bài 5 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao
Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó
Bài 6 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?
Bài 7 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng
Bài 8 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Viết phương trình đường thẳng MN
Bài 9 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Tính các khoảng cách từ A đến tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a) và khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.
Bài 10 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) và (H)
Bài 11 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?
Bài 12 trang 119 SGK Hình học 10 Nâng cao
Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E)
Bài 13 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao
Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.
Bài 14 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài 2 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao
Viết phương trình của Δ dưới dạng phương trình theo đoạn chắn
Bài 1 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao
Xét vị trí tương đối của các đường thẳng trong mỗi trường hợp sau