Bài 14 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu

Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Cho parabol \((P):{y^2} = {1 \over 2}x.\) Gọi M,N là hai điểm di động trên (P) sao cho \(OM \bot ON\) (M,N không trùng với O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Giải

Giả sử \(M(2y_1^2\,;\,{y_1})\,\, \in \,\,(P)\,,\,\,N(2y_2^2\,;\,{y_2})\,\, \in \,\,(P)\) trong đó \({y_1},\,{y_2}\, \ne 0\) và \({y_1} \ne \,{y_2}\) vì \(\overrightarrow {OM} .\,\overrightarrow {ON}  = 0\) nên \(4y_1^2y_2^2 + {y_1}{y_2} = 0\)

 suy ra \(4{y_1}{y_2} + 1 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{y_1}{y_2} =  - {1 \over 4}\)

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( {2y_2^2 - 2y_1^2\,;\,{y_2} - {y_1}} \right) \)

                    \(= \left( {{y_2} - {y_1}} \right).\left( {2{y_2} + 2{y_1}\,;\,1} \right)\)

Vì \({y_1} \ne \,{y_2}\) nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng MN là \((2{y_1} + 2{y_2}\,;\,1)\) .

Do đó vec tơ pháp tuyến của MN là \(\overrightarrow n  = (1\,;\, - 2{y_1} - 2{y_2})\)

 Phương trình tổng quát của MN là

\(1.(x - 2y_1^2) - (2{y_1} + 2{y_2}).(y - {y_1}) = 0\)

Tìm giao điểm của MN với trục hoành bằng cách thay \(y=0\) vào (*) ta được

\(x - 2y_1^2 + 2y_1^2 + 2{y_1}{y_2} = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x = {1 \over 2}\)

Vậy MN đi qua điểm \(\left( {{1 \over 2}\,;\,0} \right)\) cố định.

Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan