Bài 13 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Chứng minh rằng

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân Leibnitz \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

Lời giải chi tiết:

Nếu \(f\left( x \right) = 0\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {0dx}  = \left. C \right|_a^b = 0\)

Nếu \(f\left( x \right) > 0\), gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Ta có: F’(x) = f(x) > 0 trên đoạn [a; b] nên F(x) đồng trên đoạn [a; b]

Mà a < b \( \Rightarrow \) F(a) < F (b).

\( \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right) > 0\).

Vậy \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge 0\).

LG b

Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} .\) 

Lời giải chi tiết:

Trên đoạn [a, b] ta có; f(x) > g(x) nên f(x ) – g(x) \( \ge \) 0.

Theo câu a, ta có: f(x ) – g(x) \( \ge \)  0, nên

\(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  \ge 0\) \( \Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  \ge 0\) \( \Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).

Vậy \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 3. Tích phân

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài