Bài 13 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao

Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Đề bài

Cho parabol \((P):{y^2} = 2px.\) Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M’ là hình chiếu của M trên Oy và I là trung điểm của đoạn OM’. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\, \in \,\,\,(P)\) ta có \(y_o^2 = 2p{x_o}\,({x_o} \ne 0)\).

M’ là hình chiếu của M trên Oy nên \(M'(0\,;\,{y_o})\), khi đó \(I\left( {0\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\)

\( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {IM} = \left( {{x_o}\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM.

IM đi qua \(I\left( {0\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {{x_o}\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) nên phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = {x_o}.t \hfill \cr
y = {{{y_o}} \over 2} + {{{y_o}} \over 2}.t \hfill \cr} \right.\)

Thay x, y trong phương trình tham số của IM vào phương trình của (P) ta được

\(\begin{array}{l}
{\left( {\frac{{{y_0}}}{2} + \frac{{{y_0}}}{2}t} \right)^2} = 2p{x_0}t\\
\Leftrightarrow \frac{{y_0^2}}{4}{\left( {1 + t} \right)^2} = 2p{x_0}t
\end{array}\)

Mà \(2p{x_o} = y_o^2\) nên

\(\frac{{y_0^2}}{4}{\left( {1 + t} \right)^2} = y_0^2t \) \(\Leftrightarrow y_o^2(1 + {t})^2 = 4y_o^2t \Leftrightarrow (1 + {t})^2 = 4t\,\,\) ( do \({y_o} \ne 0\))

\( \Leftrightarrow 1 + 2t + {t^2} - 4t = 0 \) \(\Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Vậy IM cắt (P) tại điểm duy nhất \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\) .

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.5 trên 2 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 14 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài 12 trang 119 SGK Hình học 10 Nâng cao
Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E)
Bài 11 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?
Bài 10 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) và (H)
Bài 9 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Tính các khoảng cách từ A đến tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a) và khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.
Bài 8 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Viết phương trình đường thẳng MN
Bài 7 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng
Bài 6 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?
Bài 5 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao
Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó
Bài 4 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao
Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng Δ qua I
Bài 3 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao
Với điều kiện nào của x và y thì điểm M(x, y) thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O? Chứng minh điểm A nằm trong nửa mặt phẳng đó.
Bài 2 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao
Viết phương trình của Δ dưới dạng phương trình theo đoạn chắn
Bài 1 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao
Xét vị trí tương đối của các đường thẳng trong mỗi trường hợp sau