Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Ôn tập chương III – Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 13 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao


Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Đề bài

Cho parabol \((P):{y^2} = 2px.\) Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M’ là hình chiếu của M trên Oy và I là trung điểm của đoạn OM’. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\, \in \,\,\,(P)\)  ta có \(y_o^2 = 2p{x_o}\,({x_o} \ne 0)\).

M’ là hình chiếu của M trên Oy nên \(M'(0\,;\,{y_o})\), khi đó \(I\left( {0\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\)

\( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {IM}  = \left( {{x_o}\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM.

IM đi qua \(I\left( {0\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {{x_o}\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) nên phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {x_o}.t \hfill \cr 
y = {{{y_o}} \over 2} + {{{y_o}} \over 2}.t \hfill \cr} \right.\)

Thay x, y trong phương trình tham số của IM vào phương trình của (P) ta được

\(\begin{array}{l}
{\left( {\frac{{{y_0}}}{2} + \frac{{{y_0}}}{2}t} \right)^2} = 2p{x_0}t\\
\Leftrightarrow \frac{{y_0^2}}{4}{\left( {1 + t} \right)^2} = 2p{x_0}t
\end{array}\)

Mà \(2p{x_o} = y_o^2\) nên

\(\frac{{y_0^2}}{4}{\left( {1 + t} \right)^2} = y_0^2t \) \(\Leftrightarrow  y_o^2(1 + {t})^2 = 4y_o^2t \Leftrightarrow (1 + {t})^2 = 4t\,\,\) ( do \({y_o} \ne 0\)) 

\( \Leftrightarrow 1 + 2t + {t^2} - 4t = 0 \) \(\Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Vậy IM cắt (P) tại điểm duy nhất \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\) .

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store