Bài 52 trang 50 SGK giải tích 12 nâng cao


Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

LG a

\(y = {{{x^2} - 3x + 6} \over {x - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y =  x- 2 + {4 \over {x - 1}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {4 \over {x - 1}} = 0\) nên \(y = x – 2\) là tiệm cận xiên.

\(\eqalign{
& y' = 1 - {4 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr&= {{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1;\,\,\,y\left( { - 1} \right) = -5 \hfill \cr 
x = 3;\,\,\,y\left( 3 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (3; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) và (1;3)

y=y(-1)=-5;yCT=y(3)=3

Đồ thị:

+) Đồ thị giao với Oy (0; -6)

+) Đồ thị đi qua A(-3; -6)


Đồ thị nhận giao điểm \(I(1;-1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

LG b

\(y = {{2{x^2} - x + 1} \over {1 - x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = {{ - 2{x^2} + x - 1} \over {x - 1}}\)  

\(y =  - 2x - 1 - {2 \over {x - 1}}\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty \) nên tiệm cận đứng: \(x = 1\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( { - 2x - 1} \right)} \right] \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - \frac{2}{{x - 1}}} \right) = 0\) nên tiệm cận xiên: \(y = -2x – 1\)

\(\eqalign{
& y' = - 2 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\cr& = {{ - 2{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2{x^2} + 4x} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1 \hfill \cr 
x = 2;\,\,\,\,\,\,y\left( 2 \right) = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)và (1;2)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞, 0) và (2; +∞)

y = y(2) = -7; yCT = y(0) = 1

Điểm đặc biệt:

\(x =  0 \Rightarrow y = 1\)

\(x =  -1 \Rightarrow y = 2\)
Đồ thị:


Đồ thị nhận \(I(1;-3)\) làm tâm đối xứng.

LG c

\(y = {{2{x^2} + 3x - 3} \over {x + 2}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = 2x - 1 - {1 \over {x + 2}}\)

• TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
• Tiệm cận đứng: \(x = 2\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y =  - \infty \)
Tiệm cận xiên: \(y = 2x -1\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x - 1} \right)} \right] \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - \frac{1}{{x + 2}}} \right) = 0\)
• \(y' = 2 + {1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne  - 2\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (-2; +∞)

 

• Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y =  - {3 \over 2}\)


Đồ thị nhận \(I(-2; -5)\) làm tâm đối xứng.

LG d

\(y =  - x + 2 + {1 \over {x - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y =  - x + 2 + {1 \over {x - 1}}\)
• TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
• Tiệm cận đứng: \(x = 1\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \)
Tiệm cận xiên \(y = -x +2\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0\)
• \(y' =  - 1 - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\) nên hàm số luôn nghịch biến trên (-∞;1) và 1; +∞)

 

• Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\)


Đồ thị nhận điểm \(I(1;-1)\) làm tâm đối xứng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 3 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài