Bài 39 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao


Giải các phương trình sau trên C:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau trên C:

LG a

\(\eqalign{{\left( {z + 3 - i} \right)^2} - 6\left( {z + 3 - i} \right) + 13 = 0}\)

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \({\rm{w}} = z + 3 - i\).

- Giải phương trình mới tìm w, từ đó suy ra z.

Lời giải chi tiết:

Đặt \({\rm{w}} = z + 3 - i\) ta được phương trình:

\(\eqalign{  & {{\rm{w}}^2} - 6{\rm{w}}+ 13 = 0 \cr &\Leftrightarrow {\left( {{\rm{w}} - 3} \right)^2} =  - 4 = 4{i^2}  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} = 3 + 2i \hfill \cr  {\rm{w}} = 3 - 2i \hfill \cr}  \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{  z + 3 - i = 3 + 2i \hfill \cr  z + 3 - i = 3 - 2i \hfill \cr}  \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = 3i \hfill \cr  z =  - i \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ { - i;3i} \right\}\)

LG b

\(\eqalign{\left( {{{iz + 3} \over {z - 2i}}} \right)^2 - 3{{iz + 3} \over {z - 2i}} - 4 = 0;} \)

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \({\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z - 2i}}\)

- Giải phương trình mới tìm w, từ đó suy ra z.

Lời giải chi tiết:

Đặt \({\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z - 2i}}\) ta được phương trình: \({{\rm{w}}^2} - 3{\rm{w}} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} =  - 1 \hfill \cr {\rm{w}} = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Với \({\rm{w}} = -1\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} =  - 1 \Leftrightarrow iz + 3 =  - z + 2i\)

\( \Leftrightarrow \left( {i + 1} \right)z =  - 3 + 2i \) \(\Leftrightarrow z = {{ - 3 + 2i} \over {1 + i}} = {{\left( { - 3 + 2i} \right)\left( {1 - i} \right)} \over 2} = {{ - 1 + 5i} \over 2}\)

Với \({\rm{w}} = 4\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} = 4\) \( \Leftrightarrow iz + 3 = 4z - 8i\) \( \Leftrightarrow \left( {4 - i} \right)z = 3 + 8i\)

\( \Leftrightarrow z = {{3 + 8i} \over {4 - i}} = {{\left( {3 + 8i} \right)\left( {4 + i} \right)} \over {17}} = {{4 + 35i} \over {17}}\)

Vậy \(S = \left\{ {{{ - 1 + 5i} \over 2};{{4 + 35i} \over {17}}} \right\}\)

LG c

\({\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 0.\)

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về dạng tích.

Lời giải chi tiết:

\({\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} =0\) \(\Leftrightarrow {\left( {{z^2} + 1} \right)^2} - {\left[ {i\left( {z + 3} \right)} \right]^2}=0\)

\( \Leftrightarrow  \left( {{z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right)} \right)\left( {{z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right)} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow\left[ \matrix{  {z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  {z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {z^2} + iz + 1 + 3i = 0\);

\(\Delta   = {i^2} - 4\left( {1 + 3i} \right) =  - 5 - 12i \) \(= {\left( {2 - 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} = \frac{{i + 2 + 3i}}{2} = 1 + 2i\\
{z_2} = \frac{{i - 2 - 3i}}{2} = - 1 - i
\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow  {z^2} - iz + 1 - 3i = 0\);

\(\Delta  =  - 5 + 12i = {\left( {2 + 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là \({z_3} = 1 + 2i\) và \({z_4} =  - 1 - i\)

Vậy \(S = \left\{ {1 - 2i; - 1 + i;1 + 2i; - 1 - i} \right\}\)

  Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 3 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập chương IV - Số phức

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài