Bài 38 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\) thì số \({{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\) là số thực (giả sử \(1 + z{\rm{w}} \ne 0\)).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất:

Số phức z=a+bi là số thực nếu \(\overline z = z\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = 1 \Rightarrow \overline z = {1 \over z}\). Tương tự \(\overline {\rm{w}} = {1 \over {\rm{w}}}\)

Do đó \(\overline {\left( {{{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}} \right)} = {{\overline z + \overline {\rm{w}} } \over {1 + \overline z .\overline {\rm{w}} }} = {{{1 \over z} + {1 \over {\rm{w}}}} \over {1 + {1 \over z}.{1 \over {\rm{w}}}}} = {{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\).

Suy ra \({{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\) là số thực.

Cách khác:

Giả sử z=a+bi,w=a'+b'i với a²+b²=a'²+b'²=1 và 1+zw ≠ 0

Vì |z| = 1 nên z.z−=1

Khi đó, ta có: