Bài 25 trang 29 SGK Hình học 12 Nâng cao


Chứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ thì

Đề bài

Chứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số \(k\) biến tứ diện \(ABCD\) thành tứ diện \(A’B’C’D’\)a thì \({{{V_{A'B'C'D'}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {\left| k \right|^3}\)

Lời giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD).

Giả sử phép vị tự tỉ số k biến A, B, C, D, H lần lượt thành A’, B’, C’, D’, H’.

Hơn nữa, theo tính chất của phép vị tự thì:

A’H’ song song hoặc trùng với AH;

Và (B’C’D’) song song hoặc trùng với (BCD)

Mà AH ⊥ (BCD) nên A'H'⊥(B'C'D').

Vậy A’H’ là đường cao của tứ diện (A’B’C’D’) (1)

Mặt khác, dễ thấy: \(\widehat {CBD} = \widehat {C'B'D'} = \varphi \)  (2)

Hơn nữa, cũng từ tính chất của phép vị tự ta có:

\(\frac{{A'H'}}{{AH}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{B'D'}}{{BD}} = \left| k \right|\) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{B'C'D'}}.A'H'}}{{\frac{1}{3}{S_{BCD}}.AH}}\\ = \frac{{{S_{B'C'D'}}.A'H'}}{{{S_{BCD}}.AH}}\\ = \frac{{\frac{1}{2}B'C'.B'D'\sin \varphi }}{{\frac{1}{2}BC.BD\sin \varphi }}.\frac{{A'H'}}{{AH}}\\ = \frac{{B'C'}}{{BC}}.\frac{{B'D'}}{{BD}}.\frac{{A'H'}}{{AH}}\\ = {\left| k \right|^3}\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài