Bài 23 trang 29 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB,SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C' khác với S. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C'. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho khối chóp tam giác \(S.ABC\). Trên ba đường thẳng \(SA, SB,SC\) lần lượt lấy ba điểm \(A’, B’, C'\) khác với \(S\). Gọi \(V\) và \(V’\) lần lượt là thể tích của các khối chóp \(S.ABC\) và \(S.A'B'C'\). Chứng minh rằng:

 \({V \over {V'}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)

Lời giải chi tiết


Gọi \(H\) và \(H’\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) và \(A’\) trên mp \((SBC)\). Khi đó \(3\) điểm \(S, H, H’\) thẳng hàng (vì chúng là hình chiếu của ba điểm thẳng hàng \(S, A, A’\) trên mp \((SBC)\)) và vì \(A’H’ // AH\) nên \({{AH} \over {A'H'}} = {{SA} \over {SA'}}\). Ta có:
\({{{S_{SBC}}} \over {{S_{SB'C'}}}} = {{{1 \over 2}SB.SC.sin\widehat {BSC}} \over {{1 \over 2}SB'.SC'.sin\widehat {B'SC'}}} = {{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)
Suy ra \({V \over {V'}} = {{{V_{A.SBC}}} \over {{V_{A'.SB'C'}}}} = {{{1 \over 3}{S_{SBC}}.AH} \over {{1 \over 3}{S_{SB'C'}}.A'H'}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài