Bài 20 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A' cách đều ba điểm A, B, c, cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó. b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB' là một hình chữ nhật. c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A'B'C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A, B, C\), cạnh bên \(AA'\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(60^0\).

LG a

Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\).

Vì \(A’\) cách đều ba đỉnh \(A, B, C\) nên \(A’\) nằm trên trục của \(\Delta ABC\), do đó \(A'O \bot mp\left( {ABC} \right)\)
\(AO\) là hình chiếu của \(AA’\) trên mp \((ABC)\). Do đó \(\widehat {A'AO} = {60^0}\)

Trong tam giác vuông \(A’OA\) ta có: \(\tan {60^0} = {{A'O} \over {AO}}\) \( \Rightarrow A'O = AO.\tan {60^0} \) \(= {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.\sqrt 3  = a\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là \(V = B.h = {S_{ABC}}.A'O \) \(= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.a = {{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}\)

LG b

Chứng minh rằng mặt bên \(BCCB'\) là một hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Vì \(BC \bot AO\) và \(BC\bot A'O\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {AOA'} \right) \) \(\Rightarrow BC \bot AA'\) hay \(BC \bot BB'\) .

Vậy \(BCC’B’\) là hình chữ nhật.

LG c

Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(AB \bot \left( {A'HO} \right) \Rightarrow A'H \bot AB\).

Trong tam giác vuông \(A’OH\), ta có:

\(A'{H^2} = A'{O^2} + O{H^2} \) \(= {a^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right)^2} = {{13{a^2}} \over {12}} \)

\(\Rightarrow A'H = {{a\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Diện tích hình bình hành \(ABB’A’\) : \({S_{AB B'A'}} = AB.AH = {a^2}{{\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Tương tự \({S_{ACC'A'}} = {{{a^2}\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Diện tích hình chữ nhật \(BCC’B’\) là: \({S_{BCC'B'}} = BB'.BC = AA'.BC \) \(= {{AO} \over {\cos {{60}^0}}}.a = {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là:

\({S_{xq}} = 2{S_{AA'B'B}} + {S_{BCC'B'}} \) \(= {{{a^2}\sqrt {13} } \over {\sqrt 3 }} + {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3} \) \(= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\left( {\sqrt {13}  + 2} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài