Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao


Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua ba điểm ; b) Đi qua hai điểm và song song với trục Oz ; c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0; d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ; e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với ) và song song với một mặt phẳng toạ độ ; g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ; h) Đi

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

LG a

Đi qua ba điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\,\,;\,\,N\left( {1; - 2;3} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;1;2} \right)\);

Phương pháp giải:

MP đi qua 3 điểm M, N, P thì đi qua M và có VTPT cùng phương với véc tơ \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1; - 2;4} \right),\)\(\overrightarrow {MP}  = \left( { - 2;1;3} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) \)\(=  - 5\left( {2;1;1} \right)\).

Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\).

Mp(MNP) đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình là:

\(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\)

LG b

Đi qua hai điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\,\,;\,\,B\left( {5;2;1} \right)\) và song song với trục Oz ;

Phương pháp giải:

MP đi qua hai điểm A,B và song song Oz thì có VTPT cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right]\)

Lời giải chi tiết:

Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc vói \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1;2} \right)\) và vuông góc với \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) nên:

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {1; - 4;0} \right)\)

(P) qua \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 4;0} \right)\) nên (P) có phương trình:

\(1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\)

Cách khác:

Vì mặt phẳng cần tìm song song với Oz nếu có phương trình dạng Ax + By + D = 0, với A2 + B2 ≠ 0

Vì mặt phẳng này đi qua A(1, 1, -1) và B(5, 2, 1) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A + B + D = 0\\5A + 2B + D = 0\end{array} \right.\)

⇒ 4A + B = 0, nếu A = 0 thì B = 0 (loại)

Vậy A ≠ 0, ta chọn A = 1 ⇒ B = -4, và D = 3

Vậy phương trình mặt phẳng là: x – 4y + 3 = 0

LG c

Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(x - 5y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 5;1} \right)\).

\(Mp\left( \beta  \right)\) qua \(A\left( {3;2; - 1} \right)\) song song với \(mp\left( \alpha  \right)\) nên \(\left( \beta  \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến .

Do đó \(\left( \beta  \right)\): \(\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\)

Cách khác:

Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x – 5y + z = 0, nên nó có phương trình dạng: x – 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3, 2, -1) nên ta có:

3 - 5.2 + (-1) + D = 0 D = 8

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 5y + z + 8 = 0

LG d

Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

Phương pháp giải:

MP đi qua hai điểm A,B và vuông góc \(\left( \alpha  \right)\) thì nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} } \right]\) làm VTPT.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;1} \right)\)

\(Mp\left( \alpha  \right)\): \(x - y + z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m  = \left( {1; - 1;1} \right)\).
\(Mp\left( \beta  \right)\) đi qua A, B và vuông góc với \(mp\left( \alpha  \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta  \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left( {0;2;2} \right)\)

Vậy (P): \(2\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\)

LG e

Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với \(abc \ne 0\)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(1\left( {z - c} \right) = 0 \Leftrightarrow z - c = 0\)

Tương tự mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.

LG g

Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0,b,0} \right)\,,\,C\left( {0,0,c} \right)\).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

\({{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3\) \( \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\)

Vậy mp(ABC): \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\).

LG h

Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi \(OH \bot mp\left( {ABC} \right)\).

Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình :

\(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\)

Cách khác:

Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - a;b;0} \right),\overrightarrow {CH}  = \left( {2;1;1 - c} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - b;c} \right),\overrightarrow {AH}  = \left( {2 - a;1;1} \right)\end{array}\)

Vì H(2, 1, 1) là trực tâm ΔABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CH}  = 0\\\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH}  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b - c = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow b = c = 2a\)

Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:

\(\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{2a}} = 1\) \( \Leftrightarrow 2x + y + z = 2a\)

Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2, 1, 1) nên ta có:

2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0

Loigiaihay.com


Bình chọn:
2.9 trên 8 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Phương trình mặt phẳng

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài