Bài 109 trang 123 SBT Hình học 10 Nâng cao>
Giải bài tập Bài 109 trang 123 SBT Hình học 10 Nâng cao
Cho parabol \((P):\,{y^2} = 2px\,\,(p > 0)\).
LG a
Tìm độ dài của dây cung vuông góc với trục đối xứng của \((P)\) tại tiêu điểm \(F\) của \((P)\).
Lời giải chi tiết:
(h.134).
Gọi \(M , N\) là các giao điểm của \((P)\) và đường thẳng vuông góc với \(Ox\) tại \(F\). Khi đó, toạ độ của \(M, N\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{p}{2}\\{y^2} = 2px\end{array} \right.\)
Hệ có hai nghiệm là \(\left( { \dfrac{p}{2} ; p} \right) , \left( { \dfrac{p}{2} ; - p} \right)\).
Vậy \(MN = |{y_M}| + |{y_N}| = 2p\).
LG b
\(A\) là một điểm cố định trên \((P)\). Một góc vuông \(uAt\) quay quanh đỉnh \(A\) có các cạnh cắt \((P)\) tại \(B\) và \(C\). Chứng minh rằng đường thẳng \(BC\) luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải chi tiết:
(h.135).
Giả sử \(A = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} ; a} \right) ,\) \( B = \left( { \dfrac{{{b^2}}}{{2p}} ; b} \right) , \) \( C = \left( { \dfrac{{{c^2}}}{{2p}} ; c} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là:
\(\begin{array}{l}2px - (b + c)y + bc = 0. (1)\\\overrightarrow {AB} = \left( { \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2p}} ; b - a} \right) ,\\\overrightarrow {AC} = \left( { \dfrac{{{c^2} - {a^2}}}{{2p}} ; c - a} \right).\\\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} = 0 \\ \Leftrightarrow ({b^2} - {a^2})({c^2} - {a^2})\\ + 4{p^2}(b - a)(c - a) = 0\\ \Leftrightarrow (b + a)(c + a) + 4{p^2} = 0\\ \Leftrightarrow bc + a(b + c) + {a^2} + 4{p^2} = 0. (2)\end{array}\)
Rút \(bc\) từ (2) thay vào (1), ta được phương trình của \(BC\) là
\(2px - {a^2} - 4{p^2} - (b + c)(y + a) = 0\) (3)
Dễ thấy đường thẳng \(BC\) có dạng (3) luôn đi qua điểm cố định \(M = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} + 2p ; - a} \right)\).
Loigiaihay.com
- Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 123, 124 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 124, 125 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 13, 14, 15, 16, 17 trang 126 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 18, 19, 20, 21, 22 trang 126, 127 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 23, 24, 25, 26, 27 trang 127, 128 SBT Hình học 10 Nâng cao
>> Xem thêm