
Đề bài
Hãy chứng minh định lí 3: \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\).
Lời giải chi tiết
Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\) (1)
+) Với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.
+) Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = {u_1} = {{1\left( {{u_1} + {u_1}} \right)} \over 2}.\) Như vậy (1) đúng với \(n = 1\).
+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là:
\({S_k} = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right) + 2{u_{k + 1}}} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_1}} \over 2} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right)} \over 2} \cr} \)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\)
Vậy (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).
Cách khác :
Ta có:
\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}} \cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_2} + {u_1}} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow 2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_n}} \right) + \left( {{u_2} + {u_{n - 1}}} \right) \cr&+ ... + \left( {{u_{n - 1}} + {u_2}} \right) + \left( {{u_n} + {u_1}}\right) \cr} \)
Mà \({u_1} + {u_n}= {u_2} + {u_{n - 1}} \)\(= {u_3} + {u_{n - 2}} = ... = {u_n} + {u_1}\)
Do đó \(2{S_n} = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)
\(\Rightarrow {S_n} = {n \over 2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)
Loigiaihay.com
Cho cấp số cộng (un)
Số đo ba góc của một tam giác vuông
Cho cấp số cộng (un)
Cho cấp số cộng (un)
Cho cấp số cộng
Một cấp số cộng
Trong mỗi câu sau
Trên tia Ox
Chứng minh rằng
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: