Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Hãy chứng minh định lí 3.

Đề bài

Hãy chứng minh định lí 3: \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\).

Lời giải chi tiết

Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\) (1)

+) Với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = {u_1} = {{1\left( {{u_1} + {u_1}} \right)} \over 2}.\) Như vậy (1) đúng với \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k  \in \mathbb N^*\), tức là:

\({S_k} = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} \cr 
& = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2} + {u_{k + 1}} \cr 
& = {{k\left( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right) + 2{u_{k + 1}}} \over 2} \cr 
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} \over 2} \cr 
& = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_1}} \over 2} \cr 
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right)} \over 2} \cr} \)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Cách khác :

Ta có:

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}} \cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_2} + {u_1}} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow 2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_n}} \right) + \left( {{u_2} + {u_{n - 1}}} \right) \cr&+ ... + \left( {{u_{n - 1}} + {u_2}} \right) + \left( {{u_n} + {u_1}}\right) \cr} \)

Mà \({u_1} + {u_n}= {u_2} + {u_{n - 1}} \)\(= {u_3} + {u_{n - 2}} = ... = {u_n} + {u_1}\)

Do đó  \(2{S_n} = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)

\(\Rightarrow {S_n} = {n \over 2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 3. Cấp số cộng

>> Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.


Gửi bài