Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Câu 19 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao


Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:

Đề bài

Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:

 \({\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4} \ge abcd\)

Lời giải chi tiết

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{a + b + c + d}}{4} = \frac{1}{2}.\frac{{a + b + c + d}}{2}\\
= \frac{1}{2}\left( {\frac{{a + b}}{2} + \frac{{c + d}}{2}} \right)\\
\ge \frac{1}{2}.\left( {\frac{{2\sqrt {ab} }}{2} + \frac{{2\sqrt {cd} }}{2}} \right)\\
= \frac{1}{2}\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {cd} } \right)\\
\ge \frac{1}{2}.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } = \sqrt[4]{{abcd}}\\
\Rightarrow \frac{{a + b + c + d}}{4} \ge \sqrt[4]{{abcd}}\\
\Rightarrow {\left( {\frac{{a + b + c + d}}{4}} \right)^4} \ge {\left( {\sqrt[4]{{abcd}}} \right)^4}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + b + c + d}}{4}} \right)^4} \ge abcd
\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}
a = b\\
c = d\\
\sqrt {ab} = \sqrt {cd}
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow a = b = c = d\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 10 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua