Bài 9 trang 14 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao


Các hệ thức sau đây đúng hay sai

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Các hệ thức sau đây đúng hay sai (với mọi \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) )?

LG a

\(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\) bằng cách dựng hình và sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Từ đó suy ra tính đúng sai của mỗi câu.

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)

Chứng minh:

Từ một điểm \(O\) trong mặt phẳng ta dựng vectơ:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \cr 
& \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \cr} \)

Và dựng hình bình hành \(OACB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OB} \)

Như vậy:

\(\eqalign{
& OA = |\overrightarrow {OA} | = |\overrightarrow a | \cr 
& OB = |\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \cr&\Rightarrow AC = |\overrightarrow {AC} |=|\overrightarrow {OB} |  = |\overrightarrow b | \cr 
& \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \cr 
& OC = |\overrightarrow {OC} | = |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \cr} \)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \(OAC\), ta có:

\(OA + AC ≥ OC \) \(\Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \ge \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|\)

\(   ⇒ |\overrightarrow a  + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} \).

Dấu "=" xảy ra khi OA+AC=OC hay A nằm giữa O và C.

Khi đó \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AC} \) cùng hướng hay \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng. (Do \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow b \))

Chú ý:

Các em cũng không nhất thiết phải dựng hình bình hành. Có thể dựng hình cách khác như sau:

Từ điểm O dựng điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \).

Từ điểm A dựng điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow b \).

Rồi sử dụng bất đẳng thức tam giác cũng ra được đpcm.

Do đó a sai.

Quảng cáo
decumar

LG b

\(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)

Lời giải chi tiết:

Đúng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 8 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.