Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Câu hỏi và bài tập chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo ..

Bài 79 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


Cho hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số : \(y = f\left( x \right) = x + {1 \over x}\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(\eqalign{
& y' = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}} \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \cr} \)

Hàm số đồng biến trên các khoảng: \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng: \(\left( { - 1;0} \right),\left( {0;1} \right)\)

+) Cực trị:

 Hàm số đạt cực đại tại: \(x=-1 ; y(-1)= -2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại: \(x=1;y(1)=2\)

+) Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ - }}  =  - \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }}  =  + \infty \)

Tiệm cận đứng: \(x=0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over x} = 0\)

Tiệm cận xiên: \(y=x\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

LG b

Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

Lời giải chi tiết:

Tiệm cận đứng x = 0; Tiệm cận xiên y = x.
Ta có \(f\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) là \(y = \left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}}\)

Thay x = 0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A:

\({y_A} = \left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( { - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} \) \(= {2 \over {{x_o}}}\).

Vậy \(A\left( {0;{2 \over {{x_o}}}} \right)\)

Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình

\(\left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} = x \)

\(\Leftrightarrow  - {x \over {{x_o}}} + {2 \over {{x_o}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_o}\)

\({x_B} = 2{x_o}\).

Vậy \(B\left( {2{x_o};2{x_o}} \right)\)

Ta có: \({x_M} = {x_o} = {{0 + 2{x_o}} \over 2} \) \(= {{{x_A} + {x_B}} \over 2}\)

Vì ba điểm A, M, B thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Ta thấy, khoảng cách từ B đến trục Oy bằng 2x0 là độ dài đường cao kẻ từ B của OAB, OA có độ dài bằng 2/x0 .
Diện tích tam giác OAB là

\(S = {1 \over 2}\left| {{y_A}} \right|\left| {{y_B}} \right| = {1 \over 2}\left| {{2 \over {{x_o}}}} \right|\left| {2{x_o} } \right|=2,\) với \(\forall {x_o} \ne 0\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đồ thị (H) của hàm số . b) Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. c) Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

  • Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1. b) Chứng minh rằng với mọi , các đường cong đều đi qua hai điểm cố định A và B.

  • Bài 76 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số

  • Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

  • Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó. c) Gọi là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store