Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Câu hỏi và bài tập chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo ..

Bài 71 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhât.

Đề bài

Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhât.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Có thể áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác:

Nếu tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thì diện tích của nó là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

(p là nửa chu vi của tam giác.)

Lời giải chi tiết

Gọi x, y là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác.

Nửa chu vi tam giác là p=16:2=8.

Ta có: \(x + y = 16 - 6 = 10\) \(\Rightarrow y = 10 - x\) với \(x > 0,\,y > 0\)

Diện tích tam giác là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - 6} \right)\left( {p - x} \right)\left( {p - y} \right)}  \)

\(= \sqrt {8.2\left( {8 - x} \right)\left( {8 - y} \right)}  \)

\(= 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {8 - y} \right)} \)

Thay y= 10- x , ta được \(S = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {x - 2} \right)} \)

\(= 4\sqrt {{-x^2} + 10x - 16} \,\,\,\left( {0 < x < 10} \right)\)

S đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;10) khi và chỉ khi hàm số \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 10x - 16\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;10).

\(f'\left( x \right) =  - 2x + 10\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5;\,f\left( 5 \right) = 9\)

Tam giác có diện tích lớn nhất khi x = 5 (cm) và y= 5 (cm)

\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {0;10} \right)} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = 9\)

Khi đó diện tích tam giác là: \(S = 4\sqrt {(8-5)(5-2)}  = 12\left( {c{m^2}} \right)\)

Cách khác:

Ta có: \(S = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {x - 2} \right)} \)

ĐK: \(\left( {8 - x} \right)\left( {x - 2} \right) \ge 0 \) \(\Leftrightarrow 2 \le x \le 8\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số không âm \(a=8-x\) và \(b=x-2\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {x - 2} \right)} \le \frac{{8 - x + x - 2}}{2} = 3\\
\Rightarrow S \le 4.3 = 12
\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(8 - x = x - 2 \)

\(\Leftrightarrow 10 = 2x \Leftrightarrow x = 5\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 72 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Chứng minh rằng phương trình f(x) =0 có ba nghiệm phân biệt.

  • Bài 73 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu. b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: có ba nghiệm phân biệt. c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:

  • Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó. c) Gọi là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

  • Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

  • Bài 76 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store