Bài 6 trang 63 Hình học 12 Nâng cao

Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, BD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

Đề bài

Một hình thang cân \(ABCD\) có các cạnh đáy \(AB = 2a, BD = 4a\), cạnh bên \(AD = BC = 3a\). Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

Lời giải chi tiết

Gọi \(S\) là giao điểm của hai cạnh bên \(AD\) và \(BC\) của hình thang.

Đường cao \(SO\) của tam giác cân \(SCD\) là trục đối xứng của hình thang, do đó \(SO\) cắt \(AB\) tại trung điểm \(O’\) của \(AB\).

Khi quay quanh \(SO\), tam giác \(SCD\) sinh ra khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) có thể tích \({V_1}\), tam giác \(SAB\) sinh ra khối nón \(\left( {{N_2}} \right)\) có thể tích \({V_2}\), còn hình thang \(ABCD\) sinh ra một khối tròn xoay \(\left( H \right)\) có thể tích \(V = {V_1} - {V_2}\).

Vì \(AB = {1 \over 2}CD\) nên \(AB\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\) nên \(SB = BC = 3a\).

Ta có \(SO' = \sqrt {S{B^2} - O'{B^2}} \) \( = \sqrt {9{a^2} - {a^2}} = 2\sqrt 2 a\)

\(\eqalign{
& SO = 2SO' = 4\sqrt 2 a \cr
& V = {V_1} - {V_2}\cr& = {1 \over 3}\pi O{C^2}.SO - {1 \over 3}\pi O'{B^2}.SO' \cr&= {1 \over 3}\pi 4{a^2}.SO - {1 \over 3}\pi {a^2}SO' \cr
& = {1 \over 3}\pi {a^2}\left( {4SO - SO'} \right) \cr&= {1 \over 3}\pi {a^2}\left( {16\sqrt 2 a - 2\sqrt 2 a} \right) \cr&= {{14\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^3} \cr} \)

Diện tích xung quanh của khối tròn xoay \((H)\) là:

\(\eqalign{
& {S_{xq}} = {S_1} - {S_2} \cr&= \pi OC.SC - \pi O'B.SB \cr& = \pi .2a.6a - \pi .a.3a= 9\pi {a^2} \cr
& {S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} \cr& = 9\pi {a^2} + \pi {a^2} + 4\pi {a^2} = 14\pi {a^2} \cr} \)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.5 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 5 trang 63 Hình học 12 Nâng cao
Cho tam giác ABC vuông tại A, . Gọi là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kê cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.
Bài 4 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hình nón (N) sinh bởi tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao của tam giác đó. a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu? b) Một khối cầu có thể tích của khối nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?
Bài 3 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai đường tròn (O; r) và (O’; r’) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P’).
Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 1 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho mp(P) và điểm A không thuộc (P). Chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên (P) luôn luôn đi qua hai điểm cố định.
Câu hỏi 2 trang 62 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 2 trang 62 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
Câu hỏi 1 trang 62 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 1 trang 62 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? a) Mặt cầu, khối cầu đều có vô số mặt phẳng đối xứng. b) Mọi tứ diện luôn có cạnh bên bằng nhau đều có mặt cầu ngoại tiếp.