Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao


Đề bài

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\), biết \(SA = SB = SC = a\), \(\widehat {ASB} = {60^0},\widehat {BSC} = {90^0},\widehat {CSA} = {120^0}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh tam giác ABC vuông tại B.

- Từ đó suy ra SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)

- Sử dụng tính chất: "Mọi điểm nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì cách đều ba điểm A, B, C" để dựng tâm mặt cầu.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(SAB, SAC\) ta có:

\(\eqalign{
& A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos {60^0} \cr 
& = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}.{1 \over 2} = {a^2} \Rightarrow AB = a \cr 
& A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} - 2SA.SC.\cos {120^0} \cr 
& = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - {1 \over 2}} \right) = 3{a^2}\cr & \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \cr} \)

Trong tam giác vuông \(SBC\) có: \(B{C^2} = S{B^2} + S{C^2} = 2{a^2} \) \(\Rightarrow BC = a\sqrt 2 \)

Ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\) thì \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì \(SA = SB = SC\) nên \(SH \bot mp\left( {ABC} \right)\)

Và \(S{H^2} = S{C^2} - H{C^2} \) \(= {a^2} - {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}\) \( = {{{a^2}} \over 4} \Rightarrow SH = {a \over 2}\)

Gọi O là điểm đối xứng của S qua H.

Khi đó \(OS = 2SH = 2.\frac{a}{2} = a\).

Tam giác OAH vuông tại \(H\) nên theo Pitago ta có

\(OA = \sqrt {A{H^2} + O{H^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = a\)

Lại có SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và \(O \in SH\) nên \(OA = OB = OC = a\).

Vậy \(OS = OA = OB = OC = a\) hay \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) và bán kính \(R = a\).

Cách khác:

Ta có: \(HA = HB = HC\), \(SA = SB = SC\) nên \(SH\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

\( \Rightarrow \) tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC nằm trên \(SH\).

Gọi M là trung điểm của SA.

Trong \(\left( {SAC} \right)\), kẻ đường thẳng \(d\) đi qua M và vuông góc \(SA\) cắt \(SH\) tại \(O\)

(\(d\) là đường trung trực của \(SA\) )

Khi đó:

\(O \in SH \Rightarrow OA = OB = OC\)

\(O \in d \Rightarrow OS = OA\)

\( \Rightarrow \) \(OS = OA = OB = OC\)  hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Xét \(\Delta SMO\) và \(\Delta SHA\) có:

\(\widehat S\) chung

\(\widehat {SMO} = \widehat {SHA} = {90^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta SMO \sim \Delta SHA\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SM}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SA}} \Rightarrow SM.SA = SH.SO\\ \Rightarrow \frac{1}{2}SA.SA = SH.SO\\ \Rightarrow \frac{1}{2}{a^2} = \frac{a}{2}.SO \Rightarrow SO = a\end{array}\)

Vậy bán kính \(R = a\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu
  • Bài 3 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường tròn (O; r) và (O’; r’) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P’).

  • Bài 4 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hình nón (N) sinh bởi tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao của tam giác đó. a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu? b) Một khối cầu có thể tích của khối nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?

  • Bài 5 trang 63 Hình học 12 Nâng cao

    Cho tam giác ABC vuông tại A, . Gọi là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kê cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.

  • Bài 6 trang 63 Hình học 12 Nâng cao

    Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, BD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

  • Bài 1 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho mp(P) và điểm A không thuộc (P). Chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên (P) luôn luôn đi qua hai điểm cố định.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.