Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Bài 2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\), biết \(SA = SB = SC = a\), \(\widehat {ASB} = {60^0},\widehat {BSC} = {90^0},\widehat {CSA} = {120^0}\).

Giải


Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(SAB, SAC\) ta có:

\(\eqalign{
& A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos {60^0} \cr
& = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}.{1 \over 2} = {a^2} \Rightarrow AB = a \cr
& A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} - 2SA.SC.\cos {120^0} \cr
& = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - {1 \over 2}} \right) = 3{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \cr} \)

Trong tam giác vuông \(SBC\) có: \(B{C^2} = S{B^2} + S{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \)

Ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\) thì \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì \(SA = SB = SC\) nên \(SH \bot mp\left( {ABC} \right)\)

Và \(S{H^2} = S{C^2} - H{C^2} = {a^2} - {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = {{{a^2}} \over 4} \Rightarrow SH = {a \over 2}\)

Gọi \(O\) là điểm đối xứng của \(S\) qua \(H\) thì \(SO = OA = OB = OC = a\) nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) có tâm \(O\) và bán kính \(R = a\).

loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Ôn tập chương II - Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu