Bài 3 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho hai đường tròn (O; r) và (O’; r’) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P’).

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) cắt nhau tại hai điểm \(A, B\) và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt \((P)\) và \((P’)\).

a) Chứng minh rằng có mặt cầu \((S)\) đi qua hai đường tròn đó.

b) Tìm bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\) khi \(r = 5, r' = \sqrt {10} \), \(AB = 6\), \({\rm{OO}}' = \sqrt {21} \).

Lời giải chi tiết


a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có: \(OM \bot AB\) và \(O'M \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {OO'M} \right)\)

Gọi \(\Delta ,\,\Delta '\) lần lượt là trục của đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) thì \(AB \bot \Delta \,\,,\,\,AB \bot \Delta '\). Do đó \(\Delta ,\,\Delta '\) cùng nằm trong mp \((OO’M)\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) thì \(I\) là tâm của mặt cầu \((S)\) đi qua hai đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) và \(S\) có bán kính \(R = IA\).

b) Ta có: \(MA = MB = 3\,\,,\,\,OA = r = 5,\,\,OA' = r' = \sqrt {10} \)

\(\eqalign{
& OM = \sqrt {O{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4 \cr 
& O'M = \sqrt {O'{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {10 - 9} = 1 \cr} \)

Áp dụng định lí Cosin trong \(\Delta {\rm{OMO'}}\) ta có:

\(\eqalign{
& OO{'^2} = O{M^2} + O'{M^2} - 2OM.O'M.\cos \widehat {OMO'} \cr 
& \Rightarrow 21 = 16 + 1 - 2.4.1.cos\widehat {OMO'} \Rightarrow \cos \widehat {OMO'} = - {1 \over 2} \cr 
& \Rightarrow \widehat {OMO'} = {120^0},\,\,\widehat {OIO'} = {60^0} \cr} \)

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác \(OMO’\) ta có:

\(\eqalign{
& M{O^2} = MO{'^2} + OO{'^2} - 2MO'.OO'.cos\widehat {MO'O} \cr 
& \Rightarrow \cos \widehat {MO'O} = {{\sqrt {21} } \over 7} \Rightarrow \sin \widehat {OO'I} = {{\sqrt {21} } \over 7} \cr} \)

(Vì \(\widehat {MO'O} + \widehat {OO'I} = {90^0}\))

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OIO’\) ta có: 
\({{OI} \over {\sin \widehat {OO'I}}} = {{OO'} \over {\sin \widehat {OIO'}}} \Leftrightarrow {{OI} \over {{{\sqrt {21} } \over 7}}} = {{\sqrt {21} } \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} \Leftrightarrow OI = 2\sqrt 3 \)

Vậy \(R = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}}  = \sqrt {25  + 12} = \sqrt {37} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
2.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài