Bài 3 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bình chọn:
3.2 trên 6 phiếu

Cho hai đường tròn (O; r) và (O’; r’) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P’).

Bài 3. Cho hai đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) cắt nhau tại hai điểm \(A, B\) và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt \((P)\) và \((P’)\).

a) Chứng minh rằng có mặt cầu \((S)\) đi qua hai đường tròn đó.

b) Tìm bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\) khi \(r = 5, r' = \sqrt {10} \), \(AB = 6\), \({\rm{OO}}' = \sqrt {21} \).

Giải



a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có: \(OM \bot AB\) và \(O'M \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {OO'M} \right)\)

Gọi \(\Delta ,\,\Delta '\) lần lượt là trục của đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) thì \(AB \bot \Delta \,\,,\,\,AB \bot \Delta '\). Do đó \(\Delta ,\,\Delta '\) cùng nằm trong mp \((OO’M)\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) thì \(I\) là tâm của mặt cầu \((S)\) đi qua hai đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) và \(S\) có bán kính \(R = IA\).

b) Ta có: \(MA = MB = 3\,\,,\,\,OA = r = 5,\,\,OA' = r' = \sqrt {10} \)

\(\eqalign{
& OM = \sqrt {O{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4 \cr
& O'M = \sqrt {O'{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {10 - 9} = 1 \cr} \)

Áp dụng định lí Cosin trong \(\Delta {\rm{OMO'}}\) ta có:

\(\eqalign{
& OO{'^2} = O{M^2} + O'{M^2} - 2OM.O'M.\cos \widehat {OMO'} \cr
& \Rightarrow 21 = 16 + 1 - 2.4.1.cos\widehat {OMO'} \Rightarrow \cos \widehat {OMO'} = - {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow \widehat {OMO'} = {120^0},\,\,\widehat {OIO'} = {60^0} \cr} \)

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác \(OMO’\) ta có:

\(\eqalign{
& M{O^2} = MO{'^2} + OO{'^2} - 2MO'.OO'.cos\widehat {MO'O} \cr
& \Rightarrow \cos \widehat {MO'O} = {{\sqrt {21} } \over 7} \Rightarrow \sin \widehat {OO'I} = {{\sqrt {21} } \over 7} \cr} \)

(Vì \(\widehat {MO'O} + \widehat {OO'I} = {90^0}\))

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OIO’\) ta có:
\({{OI} \over {\sin \widehat {OO'I}}} = {{OO'} \over {\sin \widehat {OIO'}}} \Leftrightarrow {{OI} \over {{{\sqrt {21} } \over 7}}} = {{\sqrt {21} } \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} \Leftrightarrow OI = 2\sqrt 3 \)

Vậy \(R = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}}  = \sqrt {25  + 12} = \sqrt {37} \)

loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Ôn tập chương II - Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu