Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Ôn tập chương II - Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

Bài 3 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao


Đề bài

Cho hai đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) cắt nhau tại hai điểm \(A, B\) và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt \((P)\) và \((P’)\).

a) Chứng minh rằng có mặt cầu \((S)\) đi qua hai đường tròn đó.

b) Tìm bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\) khi \(r = 5, r' = \sqrt {10} \), \(AB = 6\), \({\rm{OO}}' = \sqrt {21} \).

Lời giải chi tiết


a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có: \(OM \bot AB\) và \(O'M \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {OO'M} \right)\)

Gọi \(\Delta ,\,\Delta '\) lần lượt là trục của đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) thì \(AB \bot \Delta \,\,,\,\,AB \bot \Delta '\). Do đó \(\Delta ,\,\Delta '\) cùng nằm trong mp \((OO’M)\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) thì \(I\) là tâm của mặt cầu \((S)\) đi qua hai đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) và \(S\) có bán kính \(R = IA\).

b) Ta có: \(MA = MB = 3\,\,,\,\,OA = r = 5,\,\,OA' = r' = \sqrt {10} \)

\(\eqalign{
& OM = \sqrt {O{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4 \cr 
& O'M = \sqrt {O'{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {10 - 9} = 1 \cr} \)

Áp dụng định lí Cosin trong \(\Delta {\rm{OMO'}}\) ta có:

\(\eqalign{
& OO{'^2} = O{M^2} + O'{M^2} - 2OM.O'M.\cos \widehat {OMO'} \cr 
& \Rightarrow 21 = 16 + 1 - 2.4.1.cos\widehat {OMO'} \Rightarrow \cos \widehat {OMO'} = - {1 \over 2} \cr 
& \Rightarrow \widehat {OMO'} = {120^0},\,\,\widehat {OIO'} = {60^0} \cr} \)

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác \(OMO’\) ta có:

\(\eqalign{
& M{O^2} = MO{'^2} + OO{'^2} - 2MO'.OO'.cos\widehat {MO'O} \cr 
& \Rightarrow \cos \widehat {MO'O} = {{\sqrt {21} } \over 7} \Rightarrow \sin \widehat {OO'I} = {{\sqrt {21} } \over 7} \cr} \)

(Vì \(\widehat {MO'O} + \widehat {OO'I} = {90^0}\))

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OIO’\) ta có: 
\({{OI} \over {\sin \widehat {OO'I}}} = {{OO'} \over {\sin \widehat {OIO'}}} \Leftrightarrow {{OI} \over {{{\sqrt {21} } \over 7}}} = {{\sqrt {21} } \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} \Leftrightarrow OI = 2\sqrt 3 \)

Vậy \(R = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}}  = \sqrt {25  + 12} = \sqrt {37} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
2.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 4 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hình nón (N) sinh bởi tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao của tam giác đó. a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu? b) Một khối cầu có thể tích của khối nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?

  • Bài 5 trang 63 Hình học 12 Nâng cao

    Cho tam giác ABC vuông tại A, . Gọi là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kê cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.

  • Bài 6 trang 63 Hình học 12 Nâng cao

    Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, BD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

  • Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

  • Bài 1 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho mp(P) và điểm A không thuộc (P). Chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên (P) luôn luôn đi qua hai điểm cố định.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua