Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học

Bài 1: Đại cương về hàm số

Bài 4 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

LG a

y = x² + 2x – 2 trên mỗi khoảng \((-∞; -1)\) và \((-1, +∞)\)

Phương pháp giải:

Hàm số f đồng biến trêm K khi và chỉ khi

\(\forall {x_1},{x_2} \in K\) và \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} > 0\)

Hàm số f nghịch biến trêm K khi và chỉ khi

\(\forall {x_1},{x_2} \in K\) và \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Lời giải chi tiết:

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((-∞; -1)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

f(x₂) – f(x₁) = x₂² + 2x₂ – 2 – (x₁² + 2x₁ – 2)

= x₂² – x₁² + 2(x₂ – x₁) = (x₂ – x₁)(x₁ + x₂ + 2)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2\)

Vì x₁; x₂ ∈ \((-∞; -1)\) nên x₁ < -1 và x₂ < -1 nên x₁+ x₂+ 2 < 0

Nên \( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Vậy hàm số y = x² + 2x – 2 nghịch biến trên \((-∞; -1)\)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((-1, +∞)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0\)

(Vì x₁; x₂ ∈ \((-1;+∞)\) nên x₁ > -1; x₂ > -1)

Vậy hàm số y = x² + 2x – 2 đồng biến trên \((-1, +∞)\)

Bảng biến thiên:

LG b

\(y = -2x^2 + 4x + 1 \) trên mỗi khoảng \((-∞; 1)\) và \((1, +∞)\)

Lời giải chi tiết:

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((-∞; 1)\) và x₁ ≠ x₂ ta có:

f(x₂) – f(x₁) = (-2x₂² + 4x₂ + 1) – (-2x₁² + 4x₁ + 1)

= -2(x₂² - x₁²) + 4(x₂ - x₁)

\(= - 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\)

\(= 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( { - {x_2} - {x_1} + 2} \right)\)

\( = {\rm{ }}2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left[ {2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\)

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} \) \(=2\left[ {2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\)

Vì x₁ < 1 và x₂ < 1 nên \({x_1} + {x_2} < 2 \Rightarrow 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) > 0\)

Vậy hàm số \(y = -2x^2+ 4x + 1\) đồng biến trên khoảng \((-∞; 1)\)

+ Với mọi x₁; x₂ ∈ \((1; +∞)\) thì x₁ > 1 và x₂ > 1 và x₁ ≠ x₂ ta có:

\({x_1} + {x_2} > 2 \Rightarrow 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) < 0\)

Do đó \({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} \)\(=2\left[ {2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\) < 0

Vậy hàm số \(y = -2x^2 + 4x + 1\) nghịch biến trên khoảng \((1; +∞)\)

Bảng biến thiên:

LG c

\(y = {2 \over {x - 3}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3, +∞)\)

Lời giải chi tiết:

+ Với x₁, x₂ ∈ \((- ∞; 3)\) với x₁ ≠ x₂ ta có:

\(\eqalign{
& f({x_2}) - f({x_1}) = {2 \over {{x_2} - 3}} - {2 \over {{x_1} - 3}} \cr
& = {{2({x_1} - 3) - 2({x_2} - 3)} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr&= {{2({x_1} - {x_2})} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr
& \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr} \)

(vì x₁ < 3; x₂ < 3 nên (x₁ – 3)(x₂ – 3) > 0)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}}<0\)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\) nghịch biến trên \((- ∞; 3)\)

+ Với x₁, x₂ ∈ \((3; +∞)\) với x₁ ≠ x₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} < 0\)

(vì x₁ > 3; x₂ > 3 nên (x₁ – 3)(x₂ – 3) > 0)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\) nghịch biến trên \((3; + ∞)\)

Bảng biến thiên:

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.3 trên 21 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 5 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao
Mỗi hàm số sau là hàm số chẵn hay hàm số lẻ?
Bài 6 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao
Cho đường thẳng (d): y = 0,5x. Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d):
Bài 7 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực dương với căn bậc hai của nó có phải là một hàm số không? Tại sao?
Bài 8 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao
Giả sử (G) là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D và A là một điểm trên trục hoành có hoành độ bằng a. Từ A, ta dựng đường thẳng (d) song song (hoặc trùng) với trục tung.
Bài 9 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
Bài 10 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao
Cho biết tập xác định của hàm số f:
Bài 11 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao
Điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số trên? Vì sao?
Bài 12 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:
Bài 13 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao
Bằng tính toán, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng (-∞, 0) và (0, +∞) và kiểm tra lại kết quả so với bảng biến thiên đã lập
Bài 14 trang 47 SGK Đại số 10 nâng cao
Tập con S của tập số thực gọi là đối xứng nếu mọi x thuộc S, ta đều có – x thuộc S. Em có nhận xét gì về tập xác định của một hàm số chẵn (lẻ).
Bài 15 trang 47 SGK Đại số 10 nâng cao
Gọi (d) là đường thẳng y = 2x và (d’) là đường thẳng y = 2x – 3. Ta có thể coi (d’) có được là do tịnh tiến (d):
Bài 16 trang 47 SGK Đại số 10 nâng cao
Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào ?
Bài 3 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao
Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó.
Bài 2 trang 44 SGK Đại số 10 nâng cao
Biểu đồ hình 2.8 cho biết số triệu tấn gạo xuất khẩu của Việt Nam trong các năm từ 2000 đến 2005. Biểu đồ này cho ta một hàm số. Hãy cho biết tập xác định và nêu một vài giá trị của hàm số đó.
Bài 1 trang 44 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau