Bài 37 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao


Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = x + \sqrt {{x^2} - 1} \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x}} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - 2x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0\)
Ta có tiệm cận xiên \(y = 2x\) (khi \(x \to  + \infty \))
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  - x}} = 0\)

Ta có tiệm cận ngang \(y = 0\) (khi \(x \to  - \infty \))

LG b

\(y = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}  = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  - x} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  + x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over {\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}  + 1}} =  - 2\)
Ta có tiệm cận xiên \(y = x -2\) (khi \(x \to  + \infty \)).
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} } \over x} \) \(=  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}  =  - 1\)

\(\eqalign{
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over { - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - x}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over { - \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - 1}}\cr&  = {{ - 4} \over { - 2}} = 2 \cr} \)

Tiệm cận xiên: \(y = -x + 2\) (khi \(x \to  - \infty \)).

LG c

\(y = \sqrt {{x^2} + 4} \)

Lời giải chi tiết:

TXD: \(D =\mathbb R\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}}  = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right)  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4}  - x} \right)  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4}  + x}} = 0\)
Tiệm cận xiên \(y = x\) (khi \(x \to  + \infty \))
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x}  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }- \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}}  =  - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y + x} \right)  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4}  + x} \right)  \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4}  - x}} = 0\)

Tiệm cận xiên \(y = -x\) (khi \(x \to  - \infty \))

LG d

\(y = {{{x^2} + x + 1} \over {{x^2} - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over {1 - {1 \over {{x^2}}}}} = 1\)
Tiệm cận ngang: \(y = 1\) (khi \(x \to  - \infty \) và \(x \to  + \infty \))
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
2.6 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài