Bài 34 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao


Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

LG a

\(y = {{x - 2} \over {3x + 2}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ { - {2 \over 3}} \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x + 2} \over {3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{1 - {2 \over x}} \over {3 + {2 \over x}}} = {1 \over 3}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {1 \over 3}\) nên đường thẳng \(y = {1 \over 3}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {2 \over 3}} \right)}^ + }} y =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {2 \over 3}} \right)}^ - }} y =  + \infty \); nên đường thẳng \(x =  - {2 \over 3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

LG b

\(y = {{ - 2x - 2} \over {x + 3}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 2 - {2 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} =  - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 2\) nên đường thẳng \(y =  - 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} y =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên đường thẳng \(x =  - 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

LG c

\(y = x + 2 - {1 \over {x - 3}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y =  + \infty \) nên đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0\) nên đường thẳng \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị.

LG d

\(y = {{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}}\)

Phương pháp giải:

Đường thẳng y=ax+b (\(a\ne 0\)) là TCX của đồ thị hàm số y=f(x) khi và chỉ khi

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x},b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)

hoặc \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x},b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ + }} y =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên đường thẳng \(x =  - {1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax + b\)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - 3x + 4} \over {x\left( {2x + 1} \right)}} = {1 \over 2} \cr 
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - {x \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}} - {x \over 2}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ - 7x + 8} \over {2\left( {2x + 1} \right)}} = - {7 \over 4} \cr} \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty \)

Đường thẳng \(y = {x \over 2} - {7 \over 4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  + \infty \) và \(x \to  - \infty \)).
Cách khác: 
Ta có: \(y = {1 \over 2}.{{{x^2} - 3x + 4} \over {x + {1 \over 2}}} = {1 \over 2}\left( {x - {7 \over 2} + {{23} \over {4\left( {x + {1 \over 2}} \right)}}} \right)\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {{x \over 2} - {7 \over 4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{23} \over {8\left( {x + {1 \over 2}} \right)}} = 0\) nên đường thẳng \(y = {x \over 2} - {7 \over 4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị.

LG e

\(y = {{x + 2} \over {{x^2} - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0\) nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  - \infty \) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  + \infty \) nên đường thẳng \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

LG f

\(y = {x \over {{x^3} + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 15 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài