Bài 37 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao


Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = x + \sqrt {{x^2} - 1} \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x}} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - 2x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0\)
Ta có tiệm cận xiên \(y = 2x\) (khi \(x \to  + \infty \))
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  - x}} = 0\)

Ta có tiệm cận ngang \(y = 0\) (khi \(x \to  - \infty \))

LG b

\(y = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}  = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  - x} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  + x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over {\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}  + 1}} =  - 2\)
Ta có tiệm cận xiên \(y = x -2\) (khi \(x \to  + \infty \)).
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} } \over x} \) \(=  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}  =  - 1\)

\(\eqalign{
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over { - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - x}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over { - \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - 1}}\cr&  = {{ - 4} \over { - 2}} = 2 \cr} \)

Tiệm cận xiên: \(y = -x + 2\) (khi \(x \to  - \infty \)).

LG c

\(y = \sqrt {{x^2} + 4} \)

Lời giải chi tiết:

TXD: \(D =\mathbb R\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}}  = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right)  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4}  - x} \right)  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4}  + x}} = 0\)
Tiệm cận xiên \(y = x\) (khi \(x \to  + \infty \))
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x}  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }- \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}}  =  - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y + x} \right)  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4}  + x} \right)  \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4}  - x}} = 0\)

Tiệm cận xiên \(y = -x\) (khi \(x \to  - \infty \))

LG d

\(y = {{{x^2} + x + 1} \over {{x^2} - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over {1 - {1 \over {{x^2}}}}} = 1\)
Tiệm cận ngang: \(y = 1\) (khi \(x \to  - \infty \) và \(x \to  + \infty \))
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
2.9 trên 8 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí