Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 3. Phương trình đường thẳng

Bài 29 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao


Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt cả hai đường thẳng sau:

Đề bài

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\) \(d':\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = - 1 - 2t \hfill \cr 
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 - 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M'\left( {t', - 1 - 2t',2 + t'} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d'\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2t,1 + t,2 - t} \right);\) \(\overrightarrow {AM'}  = \left( { - 1 + t', - 2t',1 + t'} \right)\).

Do đó:

$$\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] \cr&= \left( {\left| \matrix{
{1 + t}\,\,\,\,\,{2 - t} \hfill \cr 
- 2t'\,\,\,\,\,\,{1 + t'} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
{2 - t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,2t \hfill \cr 
{1 + t'}\,\, \,\,{- 1 + t' }\hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{1 + t} \hfill \cr 
{- 1 + t'}\,\,\,\,{ - 2t'} \hfill \cr} \right|} \right) \cr 
& = \left( {1 + t + 5t' - tt'; - 2 - t + 2t' - 3tt';1 + t - t' - 5tt'} \right) \cr} $$

Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay: 

\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t' - tt' = 0 \hfill \cr 
- 2 - t + 2t' - 3tt' = 0 \hfill \cr 
1 + t - t' - 5tt' = 0 \hfill \cr} \right.\)

Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t' = 0 \hfill \cr 
4 + 4t + 26t' = 0 \hfill \cr} \right.\).

Suy ra \(t =  - {3 \over 2};t' = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 3; - {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow {AM}  = \left( { - 6; - 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 6t \hfill \cr 
y = - 1 - t \hfill \cr 
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)

Cách khác:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, ta có Δ =(P)∩(Q), trong đó (P) chứa A và d và (Q) chứa A và d’.

Đường thẳng d đi qua Mo (1,0,3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 1} \right)\) nên mp(P) đi qua A(1, -1, 1) và nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}A} } \right] = \left( { - 3;4; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.

Suy ra mp(P) có phương trình: -3x+4y-2z+9=0

Tương tự mp(Q) có phương trình: x+y+z-1=0

Vậy phương trình của Δ là \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 2z + 9 = 0\\x + y + z - 1 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 6t\\y =  - 1 - t\\z = 1 + 7t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store