Bài 26 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu

Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A'B'C' thì

Bài 26. Chứng minh rằng nếu \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC\) và tam giác \(A'B'C'\) thì

\(3\overrightarrow {G{G'}}  = \overrightarrow {A{A'}}  + \overrightarrow {B{B'}}  + \overrightarrow {C{C'}} .\)

Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có trọng tâm trùng nhau.

Hướng dẫn trả lời

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Vì \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) nên 

\(\overrightarrow {{G'}A'}  + \overrightarrow {{G'}B'}  + \overrightarrow {{G'}C'}  = \overrightarrow 0 \)

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {G{G'}} + \overrightarrow {{G'}{A'}} } \right) + \left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {G{G'}} + \overrightarrow {{G'}{B'}} } \right) + \left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {G{G'}} + \overrightarrow {{G'}{C'}} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {G{G'}} + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {{G'}{A'}} + \overrightarrow {{G'}{B'}} + \overrightarrow {{G'}{C'}} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {G{G'}} . \cr} \)

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có trọng tâm trùng nhau là 

\(\overrightarrow {A{A'}}  + \overrightarrow {B{B'}}  + \overrightarrow {C{C'}}  = \overrightarrow 0 \)

loigiaihay.com

>>Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan