Bài 24 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao


Cho tam giác ABC và điểm G. Chứng minh rằng

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(G\). Chứng minh rằng

LG a

Nếu \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) thì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \({G_1}\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Từ đó, ta có \(\overrightarrow {{G_1}A}  + \overrightarrow {{G_1}B}  + \overrightarrow {{G_1}C}  = \overrightarrow 0 .\)

Theo giả thiết, \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow\overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 \cr 
& \Rightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} + \left( {\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right) = \overrightarrow {0} \cr& \Rightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0  \cr&\Rightarrow \,G \equiv {G_1} \cr} \)

Cách khác:

Gọi M là trung điểm BC ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GM}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  =  - 2\overrightarrow {GM} \end{array}\)

Do đó A, G, M thẳng hàng; G nằm giữa A, M và \(AG = 2GM \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM\)

Vậy G là trọng tâm tam giác.

LG b

Nếu có điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\) thì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \( {G_1}\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Từ đó, ta có \(\overrightarrow {{G_1}A}  + \overrightarrow {{G_1}B}  + \overrightarrow {{G_1}C}  = \overrightarrow 0 .\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {OG} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) \cr 
& = {1 \over 3}\left( {3\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right) \cr& = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow {O{G_1}}  + \overrightarrow 0 } \right)= \overrightarrow {O{G_1}} \cr& \Rightarrow \,G \equiv {G_1} \cr} \)

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC}  = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Vậy G là trọng tâm tam giác (theo câu a).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 11 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.