Bài 23 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao


Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng

Đề bài

Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\).  Chứng minh rằng

\(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} .\)

Lời giải chi tiết

Vì M, N là trung điểm AB và CD nên:

\(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND}  = \overrightarrow 0 \)

Theo quy tắc ba điểm, ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \cr&= \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) \cr&+ \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr 
& = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) \cr&+ \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr 
& = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr 
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \cr&= \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr&+ \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) \cr 
&  = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) \cr&+ \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr 
& = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr} \)

Vậy \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} .\)

Cách khác:

Vì N là trung điểm của CD nên với điểm M ta có:

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD} \\ = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

(vì M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \))

Lại có:

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD} \\ = \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \\ = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Vậy từ (1) và (2) suy ra \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.6 trên 17 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài