

Bài 23 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao>
Đề bài
Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng
\(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} .\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phân tích vế trái hoặc vế phải (dựa vào quy tắc 3 điểm) làm xuất hiện các vecto ở vế còn lại.
Sử dụng tính chất trung điểm: I là trung điểm AB thì \( \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} =\overrightarrow {0} \) và \( \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} =2 \overrightarrow {MI} \)
Lời giải chi tiết
Vì M, N là trung điểm AB và CD nên:
\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \)
Theo quy tắc ba điểm, ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr& = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) \cr
& = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr} \)
Vậy \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} .\)
Cách khác:
Vì N là trung điểm của CD nên với điểm M ta có:
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \\ = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
(vì M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \))
Lại có:
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} \\ = \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Vậy từ (1) và (2) suy ra \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)
Loigiaihay.com


- Bài 24 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao
- Bài 25 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao
- Bài 26 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao
- Bài 27 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao
- Bài 28 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao
>> Xem thêm