Bài 23 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao


Đề bài

Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\).  Chứng minh rằng

\(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} .\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phân tích vế trái hoặc vế phải (dựa vào quy tắc 3 điểm) làm xuất hiện các vecto ở vế còn lại.

Sử dụng tính chất trung điểm: I là trung điểm AB thì \( \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} =\overrightarrow {0} \) và \( \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} =2 \overrightarrow {MI} \)

Lời giải chi tiết

Vì M, N là trung điểm AB và CD nên:

\(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND}  = \overrightarrow 0 \)

Theo quy tắc ba điểm, ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr& = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right)  = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr 
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) \cr 
&  = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right)  = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr} \)

Vậy \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} .\)

Cách khác:

Vì N là trung điểm của CD nên với điểm M ta có:

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD} \\ = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

(vì M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \))

Lại có:

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD} \\ = \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \\ = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Vậy từ (1) và (2) suy ra \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 19 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.