Chứng minh các đẳng thức sau:

Xem thêm: Bài 2: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

Chứng minh các đẳng thức sau

a) cos⁴α –sin⁴α = 2cos²α - 1

b) \(1 - {\cot ^4}\alpha = {2 \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {{{\sin }^4}\alpha }}\,\,\,(\sin \alpha \ne 0)\)

c) \({{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {1 - {{\sin }^2}\alpha }} = 1 + 2{\tan ^2}\alpha \,\,\,(\sin \alpha \ne \pm 1)\)

Đáp án

a) Ta có:

cos⁴α –sin⁴α = (cos²α + sin²α)(cos²α – sin²α)

= cos²α – sin²α = cos²α – (1 – cos²α) = 2cos²α – 1

b) Ta có:

\(\eqalign{
& 1 - {\cot ^4}\alpha \cr
& = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}(1 - {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }}) \cr&= {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}{\rm{[}}{{{{\sin }^2}\alpha - (1 - {{\sin }^2}\alpha )} \over {{{\sin }^2}\alpha }}{\rm{]}} \cr
& = {{2{{\sin }^2}\alpha - 1} \over {{{\sin }^4}\alpha }} = {2 \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {{{\sin }^4}\alpha }} \cr} \)

c) Ta có:

\(\eqalign{
& {{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {1 - {{\sin }^2}\alpha }} = {{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} ={1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} + {\tan ^2}\alpha \cr
& = 1 + 2{\tan ^2}\alpha \cr} \)

Loigiaihay.com