Bài 15 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), hàm số: \(y = {{{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1} \over {x - m}}\) luôn có cực đại và cực tiểu.

Lời giải chi tiết

TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\backslash \left\{ m \right\}\)

Với mọi giá trị của \(m\), hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=m-1\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x=m+1\)

Chú ý:

Ta có thể viết lại hàm số f(x) để tính đạo hàm cho đơn giản như sau:

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1}}{{x - m}}\\
= \frac{{{x^2} - {m^2}x - mx + {m^3} + 1}}{{x - m}}\\
= \frac{{\left( {{x^2} - mx} \right) - \left( {{m^2}x - {m^3}} \right) + 1}}{{x - m}}\\
= \frac{{x\left( {x - m} \right) - {m^2}\left( {x - m} \right) + 1}}{{x - m}}\\
= \frac{{x\left( {x - m} \right)}}{{x - m}} - \frac{{{m^2}\left( {x - m} \right)}}{{x - m}} + \frac{1}{{x - m}}\\
= x - {m^2} + \frac{1}{{x - m}}\\
y' = \left( {x - {m^2} + \frac{1}{{x - m}}} \right)'\\
= 1 - 0 - \frac{1}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\\
= 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\\
y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = 0\\
\Leftrightarrow 1 = \frac{1}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} = 1\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - m = 1\\
x - m = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = m + 1\\
x = m - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Cực trị của hàm số

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài