Bài 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số sao cho hàm số đạt cực tiểu và đạt cực đại

Đề bài

Tìm các hệ số \(a, b, c, d\) của hàm số:  \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)

\(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) nên \(f'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\)

\(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow d = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}\)

\(f\) đạt cực đại tại điểm \(x=1\) nên \(f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 3a + 2b = 0\)

\(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow a + b = 1\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
3a + 2b = 0 \hfill \cr 
a + b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr 
b = 3 \hfill \cr} \right.\)

Thử lại với \(a=-2, b=3, c=d=0\) ta được:

\(f\left( x \right) =  - 2{x^3} + 3{x^2}\)

\(f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 6x=-6x(x-1)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.\)

\(f''\left( x \right) =  - 12x + 6\)

\(f''\left( 0 \right) = 6 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) và \(f\left( 0 \right) = 0\)

\(f''\left( 1 \right) =  - 6 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 1\)

Vậy \(a =  - 2;b = 3;c = d = 0\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 9 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Cực trị của hàm số

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài