Giải SGK, SBT Toán 9 Bài 4. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số Cánh diều

Khí trong động cơ giãn nở từ áp suất \(p_1^{}\) và thể tích \(V_1^{}\) đến áp suất \(p_2^{}\) và thể tích \(V_2^{}\) thỏa mãn đẳng thức: \(\frac{{p_1^{}}}{{p_2^{}}} = \left( {\frac{{V_1^{}}}{{V_2^{}}}} \right)_{}^2\). Có thể tính được thể tích \(V_1^{}\) theo \(p_1^{},p_2^{}\) và \(V_2^{}\) được hay không?

Tìm số thích hợp cho “?”:

a. \(\sqrt {7_{}^2}  = ?\);

b. \(\sqrt {\left( { - 9} \right)_{}^2}  = ?\);

c. \(\sqrt {a_{}^2}  = ?\) với a là một số cho trước. 

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. \(\sqrt {x_{}^2 + 6x + 9} \) với \(x <  - 3\);

b. \(\sqrt {y_{}^4 + 2y_{}^2 + 1} \).

So sánh:

a. \(\sqrt {16.0,25} \) và \(\sqrt {16} .\sqrt {0,25} \);

b. \(\sqrt {a.b} \) và \(\sqrt a .\sqrt b \) với a, b là hai số không âm.

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. \(\sqrt {9x_{}^4} \);

b. \(\sqrt {3a_{}^3} .\sqrt {27a} \) với \(a > 0\).

So sánh:

a. \(\sqrt {\frac{{49}}{{169}}} \) và \(\frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {169} }}\);

b. \(\sqrt {\frac{a}{b}} \) và \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) với a là số không âm, b là số dương.

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. \(\sqrt {\frac{9}{{\left( {x - 3} \right)_{}^2}}} \) với \(x > 3\);

b. \(\frac{{\sqrt {48x_{}^3} }}{{\sqrt {3x_{}^5} }}\) với \(x > 0\).

Xét phép biến đổi: \(\frac{5}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3 } \right)_{}^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\). Hãy xác định mẫu thức của mỗi biểu thức sau: \(\frac{5}{{\sqrt 3 }};\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

Trục căn thức ở mẫu: \(\frac{{x_{}^2 - 1}}{{\sqrt {x - 1} }}\) với \(x > 1\).

Trục căn thức ở mẫu: \(\frac{{x - 1}}{{\sqrt x  - 1}}\) với \(x > 1\).

Trục căn thức ở mẫu: \(\frac{1}{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0\).

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. \(\sqrt {\left( {5 - x} \right)_{}^2} \) với \(x \ge 5\);

b. \(\sqrt {\left( {x - 3} \right)_{}^4} \);

c. \(\sqrt {\left( {y + 1} \right)_{}^6} \) với \(y <  - 1\).

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. \(\sqrt {25\left( {a + 1} \right)_{}^2} \) với \(a >  - 1\);

b. \(\sqrt {x_{}^2\left( {x - 5} \right)_{}^2} \) với \(x > 5\);

c. \(\sqrt {2b} .\sqrt {32b} \) với \(b > 0\);

d. \(\sqrt {3c} .\sqrt {27c_{}^3} \) với \(c > 0\).

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. \(\sqrt {\frac{{\left( {3 - a} \right)_{}^2}}{9}} \) với \(a > 3\);

b. \(\frac{{\sqrt {75x_{}^5} }}{{\sqrt {5x_{}^3} }}\) với \(x > 0\);

c. \(\sqrt {\frac{9}{{x_{}^2 - 2x + 1}}} \) với \(x > 1\);

d. \(\sqrt {\frac{{x_{}^2 - 4x + 4}}{{x_{}^2 + 6x + 9}}} \) với \(x \ge 2\).

Trục căn thức ở mẫu:

a. \(\frac{9}{{2\sqrt 3 }}\);

b. \(\frac{2}{{\sqrt a }}\) với \(a > 0\);

c. \(\frac{7}{{3 - \sqrt 2 }}\);

d. \(\frac{5}{{\sqrt x  + 3}}\) với \(x > 0;x \ne 9\);

e. \(\frac{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}\);

g. \(\frac{1}{{\sqrt x  - \sqrt 3 }}\) với \(x > 0,x \ne 3\).

Rút gọn biểu thức: \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\).

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a) \(\sqrt {25 - 10 + {x^2}} \) với \(x \le 5.\)

b) \(\sqrt {{{\left( {9 + 12x + 4{x^2}} \right)}^2}} \)

c) \(\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^6}} \) với \(x \ge \frac{{ - 1}}{3}\)

d) \(\sqrt {\frac{{49{x^2}{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{16}}} \) với \(x \ge 0\)

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích và một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a) \(\sqrt {98{x^2}} .\sqrt {{y^3}} \) với \(x < 0,y \ge 0\)

b) \(\sqrt {{x^3}{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \) với \(x \ge 1\)

c) \(\sqrt {{x^4}} .\sqrt {{{\left( {x - 7} \right)}^2}} \) với \(x > 7\)

d) \(\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{36 - 12x + {x^2}}}} \)

e) \(\frac{{\sqrt {1250{{\left( {x - 5} \right)}^3}} }}{{\sqrt {2{{\left( {x - 5} \right)}^5}} }}\) với \(x < 5\)

g) \(\sqrt {\frac{{1 + x - 2\sqrt x }}{{1 + x + 2\sqrt x }}} \)  với \(x \ge 0\)

Trục căn thức ở mẫu:

a) \(\frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }}\)

b) \(\frac{{\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2  - 1}}\)

c) \(\frac{8}{{3\sqrt 5  + 3}}\)

d) \(\frac{1}{{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{7}}}\)

Trục căn thức ở mẫu:

a) \(\frac{2}{{\sqrt {3x - 1} }}\) với \(x > \frac{1}{3}\)

b) \(\frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\)

c) \(\frac{x}{{\sqrt x  - \sqrt 7 }}\) với \(x \ge 0,x \ne 7\)

d) \(\frac{{1 - x\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\)

Chứng minh:

a) \(\frac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }} - \frac{{\sqrt 5  + 1}}{{\sqrt 5  - 1}} = \frac{{13 - \sqrt 5 }}{2}\)

b) \(\frac{{x\sqrt y  + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x  - \sqrt y }} = x - y\) với \(x > 0,y > 0,x \ne y.\)

a) Cho biểu thức \(A = \frac{1}{{3 - \sqrt 8 }} - \frac{1}{{\sqrt 8  - \sqrt 7 }} + \frac{1}{{\sqrt 7  - \sqrt 6 }} - \frac{1}{{\sqrt 6  - \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5  - 2}}\)

Chứng minh rằng \(A = 5\).

b) Cho biểu thức \(B = \frac{1}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{1}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\). Chứng minh rằng \(B = \sqrt 6 \).

a) Cho biểu thức: \(C = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {24} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }}.\) Chứng minh \(C > \frac{{24}}{5}.\)

b) Cho biểu thức \(D = \left( {\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y  + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y  - 1}}\) với \(y > 0,y \ne 1.\) Chứng minh \(D = \frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y }}.\)

Cho biểu thức \(M = \frac{1}{{2\sqrt x  - 2}} - \frac{1}{{2\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - x}}\) với \(x > 0\).

a) Rút gọn biểu thức M.

b) Tính giá trị biểu thức M tại \(x = \frac{4}{9}.\)

c) Tìm giá trị của x để \(\left| M \right| = \frac{1}{3}\).

Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\).

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N.

Cho biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của P tại \(x = 1\).

c) Tìm giá trị của \(x\) để P nguyên.

Tìm x, biết:

a) \(\frac{1}{2}\sqrt x  - \frac{3}{2}\sqrt {9x}  + 24\sqrt {\frac{x}{{64}}}  =  - 17\) với \(x \ge 0\)

b) \(\sqrt {\frac{x}{5}}  = 4\) với \(x \ge 0\)

c) \(\sqrt {25{x^2}}  = 10\)

d) \(\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}  = 3\)

e) \(2 - \sqrt[3]{{5 - x}} = 0\)