Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên qu..

Câu 6.40 trang 203 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 6.40 trang 203 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh công thức \(\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}\) (với \(0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2}\)) bằng “phương pháp hình học “ như sau:

Xét tam giác vuông ABC với \(\widehat A = \dfrac{\pi }{2},\widehat B = \alpha \). Bằng cách vẽ đường phân giác BD của góc B (h. 6.5), từ tính chất \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}}\), hãy suy ra rằng:

\(\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}.\) Hãy tính \(\tan \dfrac{\pi }{{12}}\).

 

Lời giải chi tiết

Ta có

 \(\begin{array}{l}\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{AC - AD}}{{BC}}\\ = \dfrac{{AC}}{{BC}} - \dfrac{{AD}}{{AB}}.\dfrac{{AB}}{{BC}}\end{array}\)

Từ đó \(\dfrac{{AD}}{{AB}}\left( {1 + \dfrac{{AB}}{{BC}}} \right) = \dfrac{{AC}}{{BC}},\) tức là \(\tan \dfrac{\alpha }{2}\left( {1 + \cos \alpha } \right) = \sin \alpha \), suy ra \(\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}\).

Với \(\alpha  = \dfrac{\pi }{6}\) ta được \(\tan \dfrac{\pi }{{12}} = \dfrac{1}{{2\left( {1 + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}} = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = 2 - \sqrt 3 .\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua