Câu 50 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Đề bài

Cho dãy số (un) xác định bởi :

\({u_1} = 3\;\text{và}\;{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính toán một vài số hạng đầu và dự đoán dãy số đã cho là dãy không đổi.

Chứng minh bằng quy nạp dự đoán và suy ra dãy không đổi vừa là CSC vừa là CSN.

Quảng cáo
decumar

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = 3\\
{u_2} = \sqrt {{u_1} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\\
{u_3} = \sqrt {{u_2} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\\
...
\end{array}\)

Dự đoán \({u_n} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\;\left( 1 \right)\) với mọi n.

Ta chứng minh bằng qui nạp như sau:

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {\rm{ }}3\), (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với \(n=k\) tức là: \({u_k} = {\rm{ }}3\)

+) Ta chứng minh \({u_{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}3\)

Thật vậy ta có  \({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\)

Vậy \({u_n} = {\rm{ }}3, ∀n ≥ 1\) do đó (un) vừa là cấp số cộng công sai \(d = 0\) vừa là cấp số nhân công bội \(q = 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.