Câu 50 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số (un) xác định bởi :

Đề bài

Cho dãy số (un) xác định bởi :

\({u_1} = 3\;\text{và}\;{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính toán một vài số hạng đầu và dự đoán dãy số đã cho là dãy không đổi.

Chứng minh bằng quy nạp dự đoán và suy ra dãy không đổi vừa là CSC vừa là CSN.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = 3\\
{u_2} = \sqrt {{u_1} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\\
{u_3} = \sqrt {{u_2} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\\
...
\end{array}\)

Dự đoán \({u_n} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\;\left( 1 \right)\) với mọi n.

Ta chứng minh bằng qui nạp như sau:

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {\rm{ }}3\), (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với \(n=k\) tức là: \({u_k} = {\rm{ }}3\)

+) Ta chứng minh \({u_{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}3\)

Thật vậy ta có  \({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\)

Vậy \({u_n} = {\rm{ }}3, ∀n ≥ 1\) do đó (un) vừa là cấp số cộng công sai \(d = 0\) vừa là cấp số nhân công bội \(q = 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 4 phiếu

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài