Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số (un) xác định bởi

Đề bài

Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n ≥ 2\)

Chứng minh rằng

\({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\)   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Lời giải chi tiết

+) Với \(n = 1\), theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\). Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k,\; k \in\mathbb N^*\) tức là: \(u_k={{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có:

\({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}} + 1} \over 2} \)

\( = \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{{2.2}^{k - 1}}}}= {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\)

Nghĩa là (1) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài