Câu hỏi và bài tập ôn tập chương III

Câu 49 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy hình vuông H1, H2, …, Hn,…

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy hình vuông H₁, H₂, …, H_n,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi u_n, p_n và S_n lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông H_n.

LG a

Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết ta có :

\({p_n} = 4{u_n}\text{ và }{S_n} = u_n^2\) với mọi \(n \in N^*\)

Gọi d là công sai của cấp số cộng (u_n) , d ≠ 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :

\({p_{n + 1}} - {p_n} = 4{u_{n + 1}} - 4{u_n}\)

\(= 4\left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = 4d\) (không đổi)

Vậy (p_n) là cấp số cộng.

\({S_{n + 1}} - {S_n} = u_{n + 1}^2 - u_n^2\)

\(= \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right) \)

\(= d\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right)\) không là hằng số (do d ≠ 0)

Vậy (S_n) không là cấp số cộng.

LG b

Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?

Lời giải chi tiết:

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n), q > 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :

\({{{p_{n + 1}}} \over {{p_n}}} = {{4{u_{n + 1}}} \over {4{u_n}}} = q\) (không đổi)

\({{{S_{n + 1}}} \over {{S_n}}} = {{u_{n + 1}^2} \over {u_n^2}} = {\left( {\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}} \right)^2}= {q^2}\) (không đổi)

Từ đó suy ra các dãy số (p_n) và (S_n) là cấp số nhân.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 4 phiếu

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Các bài khác cùng chuyên mục

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE