Câu 47 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Trong các dãy số dưới đây

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.

LG a

Dãy số (un) với un = 8n + 3

Phương pháp giải:

Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\) hoặc thương \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).

Nếu hiệu trên là hằng số thì dãy là CSC.

Nếu thương trên là hằng số thì dãy là CSN.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n}\)

\(= 8\left( {n + 1} \right) + 3 - \left( {8n + 3} \right) \)

\( = 8n + 8 + 3 - 8n - 3\)

\(= 8,\forall n \ge 1\)

Suy ra (un) là cấp số cộng với công sai \(d = 8\)

LG b

Dãy số (un) với \({u_n} = {n^2} + n + 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} \)

\(= {\left( {n + 1} \right)^2} + \left( {n + 1} \right) + 1 - ({n^2} + n + 1) \)

\( = {n^2} + 2n + 1 + n + 1 + 1 - {n^2} - n - 1 \)

\(= 2n + 2\)

\(= 2\left( {n + 1} \right)\) không là hằng số

Vậy (u­n) không là cấp số cộng.

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right) + 1}}{{{n^2} + n + 1}} \)

\(= \frac{{{n^2} + 2n + 1 + n + 1 + 1}}{{{n^2} + n + 1}}\)

\( = {{{n^2} + 3n + 3} \over {{n^2} + n + 1}}\) không là hằng số nên (un) không là cấp số nhân.

Cách giải thích khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = {1^2} + 1 + 1 = 3\\
{u_2} = {2^2} + 2 + 1 = 7\\
{u_3} = {3^2} + 3 + 1 = 13\\
\Rightarrow {u_2} - {u_1} = 4 \ne 6 = {u_3} - {u_2}
\end{array}\)

Do đó dãy không là CSC.

Lại có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{7}{3} \ne \frac{{13}}{7} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\)

Do đó dãy không là CSN.

LG c

Dãy số (un) với \({u_n} = {3.8^n}\)

Lời giải chi tiết:

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{{{3.8}^{n + 1}}} \over {{{3.8}^n}}} = 8,\forall n \ge 1.\)

Do đó (un) là cấp số nhân với công bội \(q = 8\).

LG d

Dãy số (un) với \({u_n} = \left( {n + 2} \right){.3^n}\)

Lời giải chi tiết:

\({u_{n + 1}} - {u_n}\)

\(= \left( {n + 3} \right){.3^{n + 1}} - \left( {n + 2} \right){3^n} \)

\(= {3^n}\left( {3n + 9 - n - 2} \right) = \left( {2n + 7} \right){3^n}\) không là hằng số nên (un) không là cấp số cộng.

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{\left( {n + 3} \right){{.3}^{n + 1}}} \over {\left( {n + 2} \right){{.3}^n}}} = {{3n + 9} \over {n + 2}}\) không là hằng số nên (un) không là cấp số nhân.

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = \left( {1 + 2} \right){.3^1} = 9\\
{u_2} = \left( {2 + 2} \right){.3^2} = 36\\
{u_3} = \left( {3 + 2} \right){.3^3} = 135\\
\Rightarrow {u_2} - {u_1} = 27 \ne 99 = {u_3} - {u_2}
\end{array}\)

Do đó dãy không là CSC.

Lại có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{36}}{9} = 4 \ne \frac{{135}}{{36}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\)

Do đó dãy không là CSN.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 6 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.