Câu 4.33 trang 107 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 4.33 trang 107 SBT Đại số 10 Nâng cao.

Đề bài

Bạn Minh giải bất phương trình \(\dfrac{1}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3} }} < \dfrac{1}{{x + 5}}\,\left( 1 \right)\) như sau :

\(\eqalign{& \left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 5 < \sqrt {{x^2} - 2x - 3} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} < {x^2} - 2x - 3 \cr & \Leftrightarrow 12x + 28 < 0 \Leftrightarrow x < - {7 \over 3}. \cr} \)

Theo em, bạn Minh giải đúng hay sai, vì sao ?

Lời giải chi tiết

Sai lầm của bạn Minh là nghĩ rằng \(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b} \Leftrightarrow b < a.\) Nhớ rằng

\(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b} \Leftrightarrow \dfrac{{a - b}}{{ab}} > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab > 0}\\{a > b}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab < 0}\\{a < b}\end{array}} \right.\)

Nhận thấy nếu x + 5 < 0 thì (1) vô nghiệm, ngược lại ta có

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 < \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3} }\\{x + 5 > 0}\end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < - \dfrac{7}{3}}\\{x > - 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - 5 < x < - \dfrac{7}{3}\)

Loigiaihay.com