Lớp 12-
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - TOÁN 11 NÂNG CAO
-
HÌNH HỌC- TOÁN 11 NÂNG CAO
Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học
Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản
Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :
LG a
\(a\sin x + b\cos x\) (a và b là hằng số, \(a^2+ b^2≠ 0\))
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& a\sin x + b\cos x \cr&= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x} \right) \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \cr } \)
trong đó \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\
\sin \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}
\end{array} \right.\)
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\) nên:
\( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(a\sin x + b\cos x\) lần lượt là :
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\text{ và }\, - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
LG b
\({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x;\)
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\(\eqalign{
& y={\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x \cr&= {{1 - \cos 2x} \over 2} +{1 \over 2}\sin 2x + 3.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{3}{2} + \frac{{3\cos 2x}}{2}\cr&= {1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \cr } \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2}\\
\le \left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}x} \right)\\
= \left( {\frac{1}{4} + 1} \right).1 = \frac{5}{4}\\
\Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \frac{5}{4}\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x \le \frac{{\sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le y \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2
\end{array}\)
Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\) lần lượt là :
\({{\sqrt 5 } \over 2} + 2\,\text{ và }\, - {{\sqrt 5 } \over 2} + 2\)
LG c
\(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) (A, B và C là hằng số).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr
& = A.{{1 - \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}.\sin 2x + C.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = {B \over 2}.\sin 2x + {{C - A} \over 2}\cos 2x + {{C + A} \over 2} \cr&= a\sin 2x + b\cos 2x + c \cr
& \text{ trong đó}\,\,a = {B \over 2},\,b = {{C - A} \over 2},\,c = {{C + A} \over 2} \cr} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2}\\
\le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\
= \left( {{a^2} + {b^2}} \right).1 = {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow {\left( {a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2} \le {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin 2x + b\cos 2x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \le a\sin 2x + b\cos 2x + c \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c
\end{array}\)
Vậy \(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) đạt giá trị lớn nhất là :
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \( = \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \(= {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)^2} + {{C + A} \over 2}\)
và giá trị nhỏ nhất là \(-\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = -\sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \( =- \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \( = - {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} + {{C + A} \over 2}.\)
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Câu 33 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 34 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 35 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 36 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
- Câu 37 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Copyright © 2021 loigiaihay.com
