Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :

LG a

\(a\sin x + b\cos x\) (a và b là hằng số, \(a^2+ b^2≠ 0\))

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& a\sin x + b\cos x \cr&= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x} \right) \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \cr } \)

trong đó \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\
\sin \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}
\end{array} \right.\)

Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\) nên:

\( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(a\sin x + b\cos x\) lần lượt là :

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\text{ và }\, - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

LG b

\({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x;\)

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\eqalign{
& y={\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x \cr&= {{1 - \cos 2x} \over 2} +{1 \over 2}\sin 2x + 3.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{3}{2} + \frac{{3\cos 2x}}{2}\cr&= {1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \cr } \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2}\\
\le \left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}x} \right)\\
= \left( {\frac{1}{4} + 1} \right).1 = \frac{5}{4}\\
\Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \frac{5}{4}\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x \le \frac{{\sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le y \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2
\end{array}\)

Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\) lần lượt là :

\({{\sqrt 5 } \over 2} + 2\,\text{ và }\, - {{\sqrt 5 } \over 2} + 2\)

LG c

\(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) (A, B và C là hằng số).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr
& = A.{{1 - \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}.\sin 2x + C.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = {B \over 2}.\sin 2x + {{C - A} \over 2}\cos 2x + {{C + A} \over 2} \cr&= a\sin 2x + b\cos 2x + c \cr
& \text{ trong đó}\,\,a = {B \over 2},\,b = {{C - A} \over 2},\,c = {{C + A} \over 2} \cr} \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2}\\
\le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\
= \left( {{a^2} + {b^2}} \right).1 = {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow {\left( {a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2} \le {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin 2x + b\cos 2x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \le a\sin 2x + b\cos 2x + c \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c
\end{array}\)

Vậy \(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) đạt giá trị lớn nhất là :

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \( = \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \(= {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)^2} + {{C + A} \over 2}\)

và giá trị nhỏ nhất là \(-\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = -\sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \( =- \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \( = - {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} + {{C + A} \over 2}.\)

Loigiaihay.com