Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao


a. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.

Đề bài

a. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.

b. Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương :

i. ABCD là tứ diện trực tâm.

ii. Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.

iii. \(A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{D^2} = A{D^2} + B{C^2}\)

c. Chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện nói trên.

Lời giải chi tiết

 

a. Kẻ AH ⊥ (BCD), H ϵ (BCD)

Ta có \(\left\{ {\matrix{   {CD \bot AH}  \cr   {CD \bot AB}  \cr } } \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right)\)

Mà BH ⊂ (ABH) nên CD ⊥ BH (1)

Tương tự \(\left\{ {\matrix{   {BD \bot AH}  \cr   {BD \bot AC}  \cr } } \right. \Rightarrow BD \bot \left( {ACH} \right) \Rightarrow BD \bot CH\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm tam giác BCD.

Ta có: \(\left\{ {\matrix{   {BC \bot AH}  \cr   {BC \bot DH}  \cr  } } \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow BC \bot AD.\)

b. Theo chứng minh câu a ta có i ⇔ ii

Mặt khác ta có

\(\eqalign{  & A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{D^2}  \cr  &  \Leftrightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2}  \cr  &  \Leftrightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} + {\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)^2}  \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow AD \bot BC \cr} \)

Tương tự AB ⊥ CD và AC ⊥ BD

Vậy i ⇔ iii

c. Gọi K là trực tâm tam giác ACD thì K nằm trên AI (với BI ⊥ CD). Từ đó suy ra AH và BK cắt nhau do chúng thuộc mp(ABI)

tương tự bốn đường cao của tứ diện trực tâm cắt nhau đôi một và không cùng nằm trên một mặt phẳng nên chúng đồng quy.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 7 phiếu

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài