Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học

Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 16 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.

a. Tính độ dài AD.

b. Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D

c. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^0}$ .

a) Tính độ dài bằng cách sử dụng định lý Py-ta-go.

b) Xác định điểm cách đều bằng tính chất tam giác vuông.

c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (khác ${90^0}$ ) là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a. Ta có: CD ⊥ BC và CD ⊥ AB nên CD ⊥ (ABC)

mà AC ⊂ (ABC) do đó CD ⊥ AC.

Trong tam giác vuông ABC ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {b^2}$

Trong tam giác vuông ACD ta có:

$A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}$

Suy ra: $AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

b. Ta có: $AB \bot BC$ và $AB \bot CD$ suy ra AB ⊥ (BCD) do đó AB ⊥ BD.

Gọi I là trung điểm AD ta có:

+) Tam giác ACD vuông tại C có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên: $IA = IC = ID = \frac{{AD}}{2}\left( 1 \right)$

+) Tam giác ABD vuông tại B có BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên: $IA = IB = ID = \frac{{AD}}{2}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB = IC = ID

Vây I cách đều A, B, C, D.

c. Ta có: $AB \bot \left( {BCD} \right)$ $\Rightarrow BD$ là hình chiếu của $AD$ trên $\left( {BCD} \right)$ .

Khi đó góc $\widehat {\left( {AD,\left( {BCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD,BD} \right)} = \widehat {ADB}$ .

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $B$ thì $\sin \widehat {ADB} = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ $\Rightarrow \widehat {\left( {AD,\left( {BCD} \right)} \right)} = \arcsin \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Lại có $DC \bot \left( {ABC} \right)$ $\Rightarrow AC$ là hình chiếu của $AD$ trên $\left( {ABC} \right)$ .

Khi đó góc $\widehat {\left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD,AC} \right)} = \widehat {DAC}$

Xét tam giác $ACD$ vuông tại $C$ thì $\sin \widehat {DAC} = \dfrac{{CD}}{{AD}} = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ $\Rightarrow \widehat {\left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right)} = \arcsin \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 8 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 17 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.
Câu 18 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ mp(ABC), các tam giác ABC và SBC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng :
Câu 19 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao
a. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.
Câu 15 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện.
Câu 14 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho điểm S có hình chiếu trên mp(P) là H. Với điểm M bất kì trên (P) (M không trùng H), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng :
Câu 13 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Các mệnh đề sau đúng hay sai ?
Câu 12 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao
Khẳng định “Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì nó vuông góc với (P)” có đúng không ? Vì sao ?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.