Bài 96 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao>
Giải bài tập Bài 96 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao
Đề bài
Chứng minh rằng mỗi đường chuẩn của hypebol luôn đi qua chân các đường vuông góc kẻ từ tiêu điểm tương ứng tới hai đường tiệm cận.
Lời giải chi tiết
(h.125).
Xét hypebol \((H): \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \((H)\) có
Các tiêu điểm : \({F_1}( - c ; 0) , {F_2}(c ; 0)\).
Các đường chuẩn: \({d_1}: x = - \dfrac{a}{e} = - \dfrac{{{a^2}}}{c} , \) \( {d_2}: x = \dfrac{a}{e} = \dfrac{{{a^2}}}{c}\)
Các tiệm cận :
\(\begin{array}{l}{\Delta _1}: y = - \dfrac{b}{a}x \Leftrightarrow \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 0\\{\Delta _2}: y = \dfrac{b}{a}x \Leftrightarrow \dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b} = 0.\end{array}\)
Gọi \(H = {d_2} \cap {\Delta _2}\). Suy ra tọa độ của \(H\) bằng \(\left( { \dfrac{{{a^2}}}{c} ; \dfrac{{ab}}{c}} \right)\).Do đó
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OH} = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{c} ; \dfrac{{ab}}{c}} \right) ; \\ \overrightarrow {H{F_2}} = \left( {c - \dfrac{{{a^2}}}{c} ; - \dfrac{{ab}}{c}} \right).\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {H{F_2}} \\ = \dfrac{{{a^2}}}{c}\left( {c - \dfrac{{{a^2}}}{c}} \right) + \dfrac{{ab}}{c}\left( { - \dfrac{{ab}}{c}} \right)\\= {a^2} - \dfrac{{{a^4}}}{{{c^2}}} - \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^2}}}\\ = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{{{c^2}}}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \\= {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{{{c^2}}}.{c^2} = 0\end{array}\)
Vậy \(OH \bot {F_2}H\). Do \((H)\) nhận \(Ox, Oy\) làm các trục đối xứng và \({\Delta _1} , {\Delta _2}\) cũng nhận \(Ox, Oy\) làm các trục đối xứng nên ta suy ra điều cần chứng minh.
Loigiaihay.com
- Bài 97 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 98 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 99 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 95 trang 120 SBT Hình học 10 Nâng cao
- Bài 94 trang 120 SBT Hình học 10 Nâng cao
>> Xem thêm